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1、阶段质量检测（四） 圆 与 方 程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点A(3,4,0)与点B(2，1,6)的距离是()A2 B2 C9 D.解析：选D由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|.2方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意得114m0，解得m.3已知圆O以点(2，3)为圆心，半径等于5，则点M(5，7)与圆O的位置关系是()A在圆内 B在圆上C在圆外 D无法判断解析：选B点M(5，7)到圆心(2，3)的距离d
2、5，故点M在圆O上4已知A(2,0)，B(1，2)，则以AB为直径的圆的方程为()A.2(y1)2B.2(y1)2C.2(y1)2D.2(y1)2解析：选D以AB为直径的圆的方程为(x2)(x1)(y0)(y2)0，化简得x2y23x2y20，即2(y1)2，故选D.5若直线l：ykx1(k0)与圆C：(x2)2(y1)22相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：选A依题意，直线l与圆C相切，则，解得k1.又k0，所以k1，于是直线l的方程为xy10.圆心D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交，故选A.6已知过点P(2,2)的直线与
3、圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1 C2 D.解析：选C因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2，故过点P(2,2)的切线斜率为，所以直线axy10的斜率为2，因此a2.7一条光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到C：(x2)2(y3)21上，则光走过的最短路程为()A1 B2 C3 D4解析：选DA(1,1)关于x轴的对称点B(1，1)，圆心C(2,3)，所以光走过的最短路程为|BC|14.8过点M(1,2)的直线l与圆C：
4、(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()Ax1 By1Cxy10 Dx2y30解析：选D当CMl，即弦长最短时，ACB最小，klkCM1，kl，l的方程为： x2y30.9若点P(1,1)为圆x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心为A(3,0)因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以APMN.又AP的斜率k，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.10在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2(y4)
5、24，若直线xmy20上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D依题意，圆M的圆心为M(0,4)，半径r2.若直线xmy20上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线上至少存在一点P，使得|MP|22成立，又点M到直线的距离为，则4，解得m，故选D.11过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，四边
6、形PACB的外接圆方程为(x2)22，圆C：(x1)2y21，得2xy30，此即为直线AB的方程12已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解析：选A由题意知，圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|PN|PC1|PC2|4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，3)，所以|PC1|PC2|PC|PC2|CC2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.二、填空题(本大题共4小题
7、，每小题5分，共20分)13在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为_解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，B1(a，b，c)答案：(a，b，c)14在平面直角坐标系中，若圆Q：x2y24ax2ay5a210上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是_解析：依题意，圆Q的方程可化为(x2a)2(ya)21，圆心为Q(2a，a)，半径为r1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则解得a1.答案：(，1)15已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于
8、A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.解析：依题意，知圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线axy20的距离等于2，于是有，即a28a10，解得a4.答案：416设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1
9、,1答案：1,1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x1)2(y1)24，直线l的方程为yxm，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切解：(1)直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m0.(2)直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，d2，m2.即m2时，直线l与圆相切18(本小题满分12分)已知直线l1：xy10，直线l2：4x3y140，直线l3：3x4y100，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程解：设圆心为C(a，a1)，半径为r，则点C到直线l2的距离d1
10、.点C到直线l3的距离d2.由题意，得解得a2，r5，即所求圆的方程是(x2)2(y1)225.19(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得2x02，即当水面
11、下降1米后，水面宽2米20(本小题满分12分)已知ABC的三个顶点A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)求圆H的标准方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则由题意，可知解得所以圆H的标准方程为x2(y3)210.(2)设圆心到直线l的距离为d，则1d210，所以d3.若直线l的斜率不存在，即lx轴时，则直线方程为x3，满足题意；若直线l的斜率存在，设
12、直线l的方程为yk(x3)2，圆心到直线l的距离为d3，解得k，所以直线l的方程为4x3y60.综上可知，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)由题意得0|CP|r2r，即r|CP|3r恒成立，所以解得r.于是圆C的半径r的取值范围为.21(本小题满分12分)已知圆C: x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程解：把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2
13、r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2.|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10，22(本小题满分12分)(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切(1)若A在直线xy0上，求M的半径(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由解：(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.
