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1、题组层级快练 ( 五十一 )1与直线 4x y 3 0 平行的抛物线 y 2x2 的切线方程是 ()A 4x y 1 0B 4xy 1 0C 4x y 2 0D 4xy 2 0答案C解析y 4x 4， x 1， y 2，过 (1 ，2) 斜率为 4 的直线为 y2 4(x 1) ，即 4xy 20.2设O 为坐标原点， F 为抛物线2 y 4x 的焦点， A 为抛物线上一点，若OA AF 4，则点A 的坐标为 ()A(2 ， 2 2)B (1 ， 2)C (1 ，2)D (2 ，2 2)答案B解析设 A(x 0， y0) ，F(1 ， 0) ， OA (x 0， y0) ， 2AF (1x0，
2、 y0) ，OA AF x0(1 x0) y0 4.222舍 )x0 1， y0 2. y0 4x0， x0 x0 4x0 40x0 3x04 0， x11， x2 4(3设F 为抛物线2y 4x 的焦点， A，B， C 为该抛物线上三点，若FAFB FC0，则 |FA | )|FB| |FC| (A 9B 6C 4D 3答案B解析焦点 F 坐标为 (1 ， 0) ，设 A，B， C坐标分别为 A(x 1， y1) ， B(x 2， y2) ， C(x 3，y3) 1， y3) FA (x1 1， y1) ，FB (x 2 1，y2 ) ， FC (x 3 FAFB FC 0， x1 1x2
3、1 x31 0. x1 x2 x3 3. |FA | |FB | |FC|（x1 1） 2 y12（ x2 1） 2y22 （ x3 1） 2 y32（x1 1） 2（ x2 1） 2（ x31） 2-1-/12 x1 1x2 1 x31 6.4(2014 新课标全国理) 设 F 为抛物线C： y2 3x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A， B 两点， O为坐标原点，则 OAB 的面积为 ()3393A.4B.8639C.D.324答案D解析先求直线AB 的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解333由已知得焦点坐标为F( 4，0) ，因此直线AB
4、的方程为y 3 (x 4) ，即 4x 43y 3 0.方法一：联立抛物线方程化简，得4y2 123y 9 0.故 |y A yB| （yA yB）2 4yAyB6.因此S |OF|y A yB| 6 . OAB113922442219方法二：联立方程，得x 2 x16 0，21故 xA xB .2根据抛物线的定义有213|AB| xAxB p 2 2 12，原点到直线 AB的距离为| 3|3h 8.42（ 4 3） 219因此 S OAB2|AB| h4.2p3另解： |AB| sin2 1 12，（ 2）2 ABO11 31 9S 2 |OF| |AB| sin 2 4 12 24.5(2
5、015 云南统一检测) 已知抛物线C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F的直线与抛物线C 交于 C的方程为 ()A，B 两点，如果 OAOB 12，那么抛物线A x2 8yB x2 4yC y2 8xD y2 4x-2-/12答案Cpy2 2px，2x myp ，消解析由题意，设抛物线方程为y 2px(p0) ，直线方程为 x my 2，联立2221， y1) ，B(x 2， y2) ，则 y1 y22 去 x 得 y 2pmy p 0，设 A(x2pm， y1y2 p ，得 OA OBpp2pmp232x1x2 y1y2 (my1 2)(my2 2) y1y2 my1
6、y2 2 (y 1 y2) 4 y1 y2 4p 12p 4，即抛物线 C 的方程为 y2 8x.6抛物线 y2 2px(p0)的焦点为F，准线为l ， A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB 120. 设线段 AB 的中点 M在 l上的投影为 N，则 |MN| 的最大值是 ()|AB|A.3B.3233C. 3D.4答案C解析设 |AF| a， |BF| b，过 A 点作 AQ垂直于准线交准线于点Q，过 B 点作 BP 垂直于准线交准线于点P，由抛物线定义，得 |AF| |AQ| ， |BF| |BP|.在梯形ABPQ中， 2|MN| |AQ| |BP| a b. 由余弦定理得|AB|
7、 2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab (a b) 2 ab. 因1a b33|MN|（ a b）2222为 ab()，所以 |AB| (a b)|AB| (a b) ，所以|AB|24232 （a b）3 . 故3选 C.217抛物线y 2x上两点 A(x1，y1) ， B(x 2， y2) 关于直线y x m 对称，若x1x2 2，则 2m的值是 ()A 3B 4C 5D 6答案A解析由已知得 k 1，且 AB 的中点 C(x ， y ) 在直线 y xm上，设直线AB 的方程为 yAB00 xn，联立 y xn， 消去 y 并整理得2x2 xn 0，y 2x2 ， 1 8
8、n0，依题意得，n1115 n 1. 又 x1x2， x0，y0 x0 1 .x1x2 22，244-3-/12513点 C(x 0，y0) 在直线 y xm上， 4 4 m，解得 m2， 2m 3，故选 A.8已知抛物线y2 8x 的焦点为F，直线y k(x 2) 与抛物线交于A， B 两点，则直线FA 与直线 FB 的斜率之和为()A 0B 2C 4D 4答案A解析设1122y2 8x，2 222A(x ， y ) ， B(x ， y )，则联立得 k x (4k 8)x 4k 0，所以y k（ x2），xx 4. 由 k ky1y2k（ x1 2）k（ x2 2）2FAx1 2 x2 2x1 2x2 21FBk（ x1 2）（ x2 2） k（ x1 2）（ x2 2）2k （x1x2 4），将 x1x2 4 代入，得（ x1 2）（ x2 2）（ x12）（ x2 2）kFA kFB 0.9. (2016 河南豫东、豫北十所名校) 如
