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1、函数与导数的综合问题A组大题保分练1已知函数f(x)aexx2bx(a，bR)(1)设a1，若函数f(x)在R上是单调递减函数，求b的取值范围；(2)设b0，若函数f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)exx2bx，f(x)ex2xb，由题意知，f(x)ex2xb0对xR恒成立由ex2xb0，得bex2x.令F(x)ex2x，则F(x)ex2，由F(x)0，得xln 2.当xln 2时，F(x)0，F(x)单调递增，当xln 2时，F(x)0，F(x)单调递减，从而当xln 2时，F(x)取得最大值2ln 22，b2ln 22，故b的取值范围为2ln 22，
2、)(2)当b0时，f(x)aexx2.由题意知aexx20只有一个解由aexx20，得a，令G(x)，则G(x)，由G(x)0，得x0或x2.当x0时，G(x)0，G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为0，)；当0x2时，G(x)0，G(x)单调递增，故G(x)的取值范围为；当x2时，G(x)0，G(x)单调递减，故G(x)的取值范围为.由题意得，a0或a，从而a0或a，故若函数f(x)在R上只有一个零点，则a的取值范围为02已知函数f(x)(1b)xaln x(a0)在x2a处取得极值(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)x22cx4ln 2，当a1时，若对任意的x1，x21
3、，e都有f(x1)g(x2)，求实数c的取值范围解：(1)由f(x)(1b)xaln x，a0，x0，得f(x)1b.又f(x)在x2a处取得极值，所以f(2a)1bb0，所以f(x)xaln x，f(x)1，又a0，且函数f(x)的定义域为(0，)，所以由f(x)0，得x2a；由f(x)0，得0x2a，即函数f(x)的单调递增区间为(2a，)，单调递减区间为(0,2a)(2)当a1时，f(x)xln x，x(0，)，由(1)知x1，e时，f(x)在1,2上单调递减，在(2，e上单调递增，所以f(x)minf(2)3ln 2.对任意的x1，x21，e都有f(x1)g(x2)，即f(x)ming
4、(x)，x1，e恒成立即3ln 2x22cx4ln 2，x1，e恒成立，即2cx，x1，e恒成立， 令h(x)x，则h(x)10，x1，e，即h(x)x在1，e上单调递增，故h(x)maxh(e)e，所以c.故实数c的取值范围为.3(2018南京、盐城一模)设函数f(x)ln x，g(x)ax3(aR)(1)当a2时，解关于x的方程g(ex)0(其中e为自然对数的底数)；(2)求函数(x)f(x)g(x)的单调增区间；(3)当a1时，记h(x)f(x)g(x)，是否存在整数，使得关于x的不等式2h(x)有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由(参考数据：ln 20.693 1，ln
5、31.098 6)解：(1)当a2时，方程g(ex)0，即为2ex30，去分母，得2(ex)23ex10，解得ex1或ex，故所求方程的根为x0或xln 2.(2)因为(x)f(x)g(x)ln xax3(x0)，所以(x)a(x0)，当a0时，由(x)0，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x；当0a0，解得x0；当a1时，由(x)0，解得x0；当a0，解得0x.综上所述，当a1时，(x)的单调增区间为. (3)存在满足题意的.当a1时，g(x)x3，所以h(x)(x3)ln x，所以h(x)ln x1在(0，)上单调递增因为hln120，所以存在唯一x0，使得h(x0)0，即ln x010
6、，当x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)minh(x0)(x03)ln x0(x03)6，记函数r(x)6，由r(x)0在上恒成立可得r(x)在上单调递增， 所以rh(x0)0)(1)若函数yf(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设a，g(x)f(x)bln x1(bR，b0)，g(x)是g(x)的导函数若对任意的x0，g(x)0，求证：存在x0，使g(x0)0；若g(x1)g(x2)(x1x2)，求证：x1x20，所以cos x对xR恒成立，因为(cos x)max1，所以1，从而0a1.所以实数a的取值范围是(0,1(2)证明：g(x)xsin xbln x1，所以g
7、(x)1cos x.若b0，使g1cos0.取x0e，则0x01.此时g(x0)x0sin x0bln x011bln e10，使g(x0)0.依题意，不妨设0x11.由(1)知函数yxsin x单调递增，所以x2sin x2x1sin x1.从而x2x1sin x2sin x1.因为g(x1)g(x2)，所以x1sin x1bln x11x2sin x2bln x21，所以b(ln x2ln x1)x2x1(sin x2sin x1)(x2x1)所以2b0.下面证明，即证明，只要证明ln t1)，所以h(t)0在(1，)上恒成立所以h(t)在(1，)上单调递减，故h(t)，即x1x20)，令
8、f(x)0，即x2ax10，a24.当a240，即2a2时，x2ax10对x0恒成立，即f(x)0对x0恒成立，此时f(x)没有极值点当a240，即a2时，若a2，设方程x2ax10的两个不同实根为x1，x2，不妨设x10，x1x210，故x2x10，当0xx2时，f(x)0；当x1xx2时f(x)2，设方程x2ax10的两个不同实根为x3，x4，则x3x4a0，故x30，x40时，f(x)0，故函数f(x)没有极值点综上，当a0，所以a对于x0恒成立，设(x)(x0)，则(x)，x0，当x(0,1)时，(x)0，(x)单调递增，(x)(1)e1，ae1，即实数a的取值范围是(，e12(201
9、8苏州期末)已知函数f(x)其中常数aR.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)f(x)ex3在区间(0，)上有实数解，求实数a的取值范围；(3)若存在实数m，n0,2，且|mn|1，使得f(m)f(n)，求证：1e.解：(1)当a2时，f(x)当x0时，f(x)3x22x0，所以f(x)的单调递减区间是(，0)和0，ln 2，单调递增区间是ln 2，)(2)当x0时，f(x)exax，此时x0，f(x)(x)3(x)2x3x2.所以f(x)f(x)exaxx3x2ex3在区间(0，)上有实数解，可化为ax2x在区间(0，)上有实数解记g(x)x2x，x(0，)，则g(
10、x)2x1.可得g(x)在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，且g(1)5，当x时，g(x).所以g(x)的值域是5，)，即实数a的取值范围是5，)(3)证明：当x0,2时，f(x)exax，有f(x)exa.若a1或ae2，则f(x)在0,2上是单调函数，不合题意所以1ae2，此时可得f(x)在0，ln a上单调递减，在ln a,2上单调递增不妨设0mln af(ln a)，且f(ln a)f(n)f(2)由m，n0,2，nm1，可得0m1n2.因为f(m)f(n)，所以得即e1ae2e，所以1e.3(2018苏北四市期末)已知函数f(x)x2ax1，g(x)ln xa(aR)(1)当a1时，求函数h(x)f(x)g(x)的极值；(2)若存在与函数f(x)，g(x)的图象都相切的直线，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，h(x)f(x)g(x)x2xln x2，函数h(x)的定义域为(0，)所以h(x)2x1.令h(x)0得x(x1舍去)，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)0h(x)极小值所以当x时，函数h(x)取得极小值ln 2，无极大值(2)设函数f(x)上点(x1，f(x1)与函数g(x)上点(x2，g
