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1、精品数学高考复习资料第1讲函数及其表示知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法2函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x)0
2、f(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3.函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y性质法yexy(0，)单调性法yxy2，)换元法ysin2 xsin x1y分离常数法yy(，1)(1，)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为.()(2)函数y1与yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013广东卷改编)函数y的定义域为(1，)()(4)(2014杭州月考改编)函数f(x)的值域为(0,1()3分段函数求值(5)(2013济南模拟改编)设函数f(x)则f(f(3)
3、.()(6)设函数f(x)若f(a)4，则实数a2或4.()4函数解析式的求法(7)已知f(x)2x2x1，则f(x1)2x25x2.()(8)已知f(1)x，则f(x)(x1)2.()感悟提升1一个方法判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)2三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8)考点一求函数定义域的方法【例1】 (1)函数y的定义域为_(2)若函数
4、f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析(1)要使函数有意义，则log0.5(4x3)0，即04x31，所以x1.故函数定义域为.(2)f(x)的定义域为R，即mx24mx30恒成立当m0时，符合条件当m0时，(4m)24m30，即m(4m3)0，0m.综上所述，m的取值范围是.答案(1)(2)规律方法 求函数的定义域，其实质就是使函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方数非负；对于yx0，要求x0；对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束【训练1】 (1)(
5、2014南京模拟)函数f(x)log2(2x1)的定义域是_(2)(2014聊城模拟)函数y的定义域为_解析(1)因为解得x1，所以f(x)的定义域为.(2)由得1x0，且x1当x1时，log3x0，于是ylog3x1211；当0x1时，log3x0，于是ylog3x11213.故函数的值域是(，31，)规律方法 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还
6、可借助于图象求解【训练2】 求下列函数的值域：(1)y；(2)y2x1.解(1)法一(配方法)y1，又x2x12，0，y1.函数的值域为.法二(判别式法)由y，xR.得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xR，(1y)24y(y1)0，解得y1.综上得y1.函数的值域为.(2)法一(换元法)设t，则t0，x，于是f(x)g(t)21tt2t(t1)26，显然函数g(t)在0，)上是单调递减函数，所以g(t)g(0)，因此原函数的值域是.法二(单调性法)函数定义域是，当自变量x增大时，2x1增大，减小，所以2x1增大，因此函数f(x)2x1在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x时，
7、函数取得最大值f，故原函数的值域是.考点三求函数的解析式【例3】 (1)已知flg x，求f(x)的解析式(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试求出f(x)的解析式(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式解(1)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg ，即f(x)lg (x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.f(x)x2x3.(3)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代
8、替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1).规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【训练3】 (1)若f(x1)2x21，则f(x)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析(1)令
9、tx1，则xt1，所以f(t)2(t1)212t24t3.所以f(x)2x24x3.(2)当1x0时，有0x11，所以f(1x)(1x)1(1x)x(1x)，又f(x1)2f(x)，所以f(x)f(1x).答案(1)2x24x3(2)1函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识2函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域教你审题1分段函数中求参数范围问题【典例
10、】 (2013新课标全国卷改编)已知若，则a的取值范围是_(1)审题一审条件：f(x)转化为一元二次函数与对数函数的图象问题如图(1)二审条件：|f(x)|ax，由f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)(2)三审图形：观察yax的图象总在y|f(x)|的下方，则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时，若x0，f(x)x22x0，所以|f(x)|ax化简为x22xax，即x2(a2)x，所以a2x恒成立，所以a2.综上2a0.答案2,0反思感悟 (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此
11、要检验结果是否符合要求【自主体验】(2014德州模拟)已知函数f(x)则f(a)f(1)0，则实数a的值等于_解析因为f(1)lg 10，所以由f(a)f(1)0得f(a)0.当a0时，f(a)lg a0，所以a1.当a0时，f(a)a30，解得a3.所以实数a的值为a1或a3.答案3或1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1下列各组函数表示相同函数的是_f(x)，g(x)()2；f(x)1，g(x)x2；f(x)g(t)|t|；f(x)x1，g(x).解析中的两个函数的定义域分别是R和0，)，不相同；中的两个函数的对应法则不一致；中的两个函数的定义域分别是R和x|x1，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；中的两个函数的定义域都是R，对应法则都是g(x)|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数答案2(2014镇江一模)函数f(x)ln的定义域为_解析要使函数有意义，则有即解得x1.答案(1，)3f(x)若f(a)3，则a_.解析令log2(1a)13，得a3；令a23，得a(舍去)，所以a3.答案34(2013江西师大附中模拟)已知函数f(x)若f(1)f(1)，则实数a的值等于_解析由f(1)f(1)，得a1(1
