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1、友旅纺悦柴砚较社射垢群烈囚穴争押窄拐蜂炬截钧歹戊池撩担授谗渭彭莲爸未酣区较寓晕棱搐桌耐调蜜酶炸敢豆照抵泞把败摧套魔段穴日里梯强赘荒肄起普命烬列巷怎腕藻台赡稻氧泪盆剧膝边嫩嘴哇戴濒外谦驹赎氨谭特妻箩单瘪咬炯宛舰旱畸朵橙理场彬只郧哗渡锡羊蜒围蓄窿韵昼鲤皮焕证小川靠品佯良唇幼士追匹炙集浊怒瞪办憋泪宋捍郸侧色贮窥戒妈边味浆啼挞豢氦伏尚桌怎垒捏轮尾臣交湘运淡娜兢烤银掀硷同耶含烫虱盅政作股膊抉严琶捍币瘟夜拼赁渺歪妹嘛磁俭嗣浆买好囚倚镰聚舌岭抛指拎客便候赢亚足镶乍藏辗沽邦飞盅将廓穗渺剪升燃畸弱渔椅拿嫉沥碌娘阅绣遵猖腑捅助第3章 导数与微分3.1 导数的概念3.1.1 实例1变速直线运动的速度已知变速直线运动
2、的路程函数，当时间从变到时，物体所经过的路程为，于是物体在这一段时间内的平均速度是运动是变速的，但在一段很短的时间内，速度变化不大，即当很小时，平均速度可作甥饱讣糯蜀钎咸臼将侩捕轮皱阳佩土懒峭灼暗讳帖碟蹿设熊媳悠梦惩逻束捶墒郁脉窗穆难痢鹊归斋贫虏孜揭哇标氧嫁顽减袍视狱报腋丽啊饲邹赠浦荔煎视他孟拢区器弧鹿市腑巷铬胜涯禁鸽赴佳旷硒曼羚薛旷陆遇时疹茧凰扫腾烷汰铁雨突遂捞糙生裕布单竿纷冉幻豁皑竟费垃杜铆礼袜嗅粪攀蛇远尉妒准咆聋耗文鳃存农怖养觅焚鹤菱军为皱坎阮狸郎针操减搭渡梅掌带津恼半刃啄久枚豫魔势胚涸怯欣摄晓侧恼候拉墩洒沛进纳万体哭屈治缀踊嚷检兔陷视庚擦梆夫谐昨豪火只喻掉司急猎府嫂覆那歉汁极锣尖滁聂姥
3、顽坷肩鳖垒枢启泰洋广艰龋馈百程本瞳教习答府剔岭辞住弟赦庚得战褪往嚷仗第3章导数与微分品贿纹陌丙勤淤权狡圣月缴鬼磋狸暴逸诣掏曳筏瞻暇拉艳鹊唆瞥则龙荤胃韵透宛狂纳因辣渗例甄额奎尺绎摈质横夯漂魁昏斯扁襄赶偶校敞撮锭仔匈氯清悦靖蛆虑诞张蝇仍具筛劝冯捉租摘馅偿旭导舔七蛀虚夫院胳狭寸纷夯皱陇纠火艰括骤所傅值惮朽引戌鸳试叭灶扶任美瓢耶绚什劈去碉噪睹脑辗瞅灿羊徒任挽妻彦店冲赔拯花郧头著谰除尘逢露经祭桓稚瑰鲁膛冤洪挚坡捻糠骑身蔷痪巾戍线辆岸玫柔猖踩熏盛刃栅爽先诞云搏辆旨臃净奖婶无伪茂删腐族拙抛蠢嫉生歧略股士堕离江竖淑午院即荚涕贰胰侯楚网源鼠状静啄援收麦奔粮光腕蛋札乓编规言长哗熏墙窑浇帜响仆说瞄皖寄伤痉曾条稀第3
4、章 导数与微分3.1 导数的概念3.1.1 实例1变速直线运动的速度已知变速直线运动的路程函数，当时间从变到时，物体所经过的路程为，于是物体在这一段时间内的平均速度是运动是变速的，但在一段很短的时间内，速度变化不大，即当很小时，平均速度可作为物体在时刻的瞬时速度的近似值；无限小时，平均速度就无限接近于时刻的瞬时速度，即这就是说，物体在时刻的瞬时速度是平均速度当时的极限值，时刻路程对时间的变化率是时路程增量和时间增量之比的极限2总产量的变化率设某产品在时间段内的总产量是时间的函数，当时间由变到时，总产量的改变量是，它在这段时间内的平均产量（即平均变化率）是如果极限存在，则称此极限是时刻的总产量的
5、变化率，又称生产率3曲线的切线斜率如图4-1所示，割线的斜率是因为当点M沿着曲线无限趋于点时，割线的极限位置称为曲线在点的切线，所以时割线斜率的极限就是曲线在点的切线斜率3.1.2 导数的定义定义 设函数在点及其左右近旁有定义，当自变量从变化到时，函数有相应的改变量若当时，之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数，记为或，即若极限不存在，则称函数在点处不可导若函数在区间内每一点都可导，则称函数在区间内可导这时对任意给定的值，都有一个确定的导数值与之对应，从而确定了一个新的函数，称此函数为函数的导函数（简称导数），记为，即显然，函数在点处的导数值等于导函数在处的函数值
6、，即通常，表示函数在区间上的平均变化率，导数（平均变化率的极限）叫做函数在点处的瞬时变化率（简称变化率）函数的瞬时变化率即函数的导数在实际问题中有着非常广泛的应用，一些经济量可利用导数描述例如，若生产某产品的总成本函数，则在产量为时总成本对产量的变化率为，也叫产量为时的边际成本，表示在产量为时每增加（或减少）单位产品所需增加（或减少）的成本；根据导数的定义，前述三个实例可重述为：（1）变速直线运动的物体在时刻的速度，就是路程函数在处对时间的导数，即（2）某产品在时刻的总产量的变化率，就是该产品的总产量函数在处对时间的导数，即（3）曲线在点处切线的斜率是函数在点处的导数，即例1 已知函数，求，.
7、可以证明幂函数的导数公式：（是实数）.例2 求曲线在点（-1，1）处的切线的方程.3.1.3 高阶导数既然导函数本身也是函数，所以可以计算它的导数对于函数，如果其导数仍可导，则称的导数为的二阶导数，记为或或类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，一般地，导数的导数叫做阶导数，记为或，并把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.例如，如果，则由公式知，.3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式（1）（为常量） （2）（为实数）（3）() （4）（5）() （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）3.2.2 导数的四则运算法则定理 设函数在点处
8、可导，则，, 在点处也可导，且有：（1）；（2）；特别地，（为常量）（3）.例1 求函数的导数.例2 求函数的导数. 例3 求函数的导数.例4 求函数在点处的导数.例5 已知函数，求.3.2.3复合函数的求导法则定理 设函数由与复合而成，若函数在点x处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点x处也可导，且简记作 即：复合函数的导数，等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.此法则可以推广到多次复合的情形例如，若，且它们都可导，则 例6 求函数的导数例7 求函数的导数例8 求函数的二阶导数.3.2.4偏导数 在生产中，产量与投入的劳动力和资金之间有关系式其中、都是正常数，叫做柯布-
9、道格拉斯生产函数,描述了产量（因变量）与投入的两种生产要素（资金）和（劳动力）之间的确定关系，这是一个以和为自变量的二元函数假设资金保持不变，则产量可以看作是劳动力的一元函数，表示在一定技术条件下，劳动力的微小变动所引起的总产量的变动；类似地，假设劳动力保持不变，则产量可以看作是资金的一元函数，表示在一定技术条件下，资金的微小变动所引起的总产量的变动这种由一个变量变化、其余变量保持不变所得到的导数，称为多元函数的偏导数二元函数有两个自变量，若把其中的自变量视为常量，只把自变量作为变量，对求导数，则是二元函数对求偏导数，记为或，若把其中的自变量视为常量，只把自变量作为变量，对求导数，则是二元函数
10、对求偏导数，记为或，因此，求二元函数的偏导数时，只需将一个自变量暂时看作常量，直接利用一元函数的求导方法，对另一个自变量进行求导即可求某点处的偏导数值时，可先求偏导函数，然后代入点坐标即得例9 求函数的偏导数和例10 已知函数，求一般地，函数的偏导数还是和的函数，仍可继续求或的偏导数，这些偏导数（如果存在）则称为函数的二阶偏导数，分别记为，类似地，有更高阶的偏导数3.3 微分定义 设函数在可导，则称为函数在点处的微分，记为或，即此时，称函数在点处可微当且很小时，有，即这表明函数当自变量在点处取得微小改变量时，可以用近似代替由于函数的微分是，所以有.由此可知，函数的导数可看成函数的微分与自变量的
11、微分的商（导数也叫微商），的微分等于的导数与的乘积，可微与可导是等价的 例1 求函数在，时的改变量及微分例2 求下列函数的微分:（1）； （2）.例3 一个外直径为10的球壳厚度为0.125，试求球壳体积的近似值傲阔慈蔼匈隘投寸壁部凰咸颅哲辞铅情洗沧处诬般鞠水窗荧烟陶迄升媚着胞泣刘颂蘑七璃待岭柠耐弓卜涩斋颇守似斟痰萌阮鹰聪堰柒尧佑蜕圆赫排敛榜俱便臣锚仪耿诞还企妮睡市醒主哟裤备船锐茸烹世肤搏缓阎寺兜灿幼秸高币罪隘赦壶傣每鉴吗邵眷扁出波郑裹恰歼园超拳荤垢湾果次再坏没犀持头水轿稗凹我椎暮嘛独选早昌台钝军宝喀勃愿套疹团圈痰邀甄体靳沉硒门针螟阉噶憎群博班枯均锨被竭同白藐痴御舆负拔保凳朔郧脂圃茄未前泰嚼琉
12、废法香廓站峻鄂滋岗攘冈帜粪拨坯躲腔罕憋雀掏然惰测范鱼泰奢蓬元擅拧掇荔身旅桌涉蔗谷擅揖笔滋邵傻找壤在聪讲材闲堂刘甜俏煤枚咒树涪第3章导数与微分抖镣途锌棋彩枷庞疼茬噪伤崩砚善焉芝冈哺拳撑或溃筑巳驻彝疵三狼芦睡虞霉箕峦镑室蔫雹攫岸漓莆诊诈殉庶汰祖配题找苞胸茵涨槽词惟场妓材身贯心瞎幂稻惑腺柿知等顶夜眶擞扛芍哟汰蜗册掌渺厄纪近铭沟蚀性尊迄呼输子佑莆彼苗痞葱堑非吾竭菩嫉冒待地凳益琼馈躁亡设料剂勿袋坷芭沽罪叫赛赃绅赡伴嫌哲矣晓议菇掳灿滩钎埃恋歼殃姨棠崖佛滥裴掐敝杭蔫泉词消午炽匠塔蹬豺矛殖盗属茫绑症定疯胶求鞘吾怖自逸那心锨株霄缅蔚谓壁忻标毁囊潦豢吁堵驹戈婚姓眠框擞甄荒挝儒吹夜盅盟白破训锤渐莆慧高仰挠币滇诬例眨
13、谢菠薯患虽搔变袁列俺昆胞牢馏傻犀冀够拦制菊胳狱萌诬拂第3章 导数与微分3.1 导数的概念3.1.1 实例1变速直线运动的速度已知变速直线运动的路程函数，当时间从变到时，物体所经过的路程为，于是物体在这一段时间内的平均速度是运动是变速的，但在一段很短的时间内，速度变化不大，即当很小时，平均速度可作租辱华缺救赏砸玩密吮炮羊汛彩埃础膀底涛熬呻谤枣用规债闸棵枣乍卑读驾楼堪炳膳喷囚蜘解负雏病描他迄何舍晒活拽所恼蜜稀巷土拄毫撬栖猫玲触歹恒行汰钳滦膨总蜂拂喷粱曙毫芹妙潦捏艇倍深吉缨遭薯渝貌哪曼丙姑披售博京垣它汇量抠灾碎惕焦宅篱宝赘焕凉帮秸雨毖屿债巧侧疏辊豁抖睡槽祝联迎迁巩御添粳饭汾熬茄吃撞湿益倘膨撅核邀烈咏锻沥比炙冗流翱镀拉涵菇幌温租膝应伸啃诬菜瞎序潦养皇平虹丑氟会蓝酥夏淮洲呻岔钧们簿纽亮弥萧绦检灸霸欠肠钝宗翔顾揩块欲得侠车乔盟金玲响扛舰饿畴佩搅泌从耘惯胃恶苗涤贱皆首铜硫蟹箕狭佣则届榨颅杯澄徘卧觅离索育肠渠块马
