《1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义,并会求平面的法向量.（难点）3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行以及垂直问题（重点） 1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1. 空间中点、直线、平面的向量表示（1）点的向量表示 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的 。(2)直线的向量表示 条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的 )形式在直线l上取a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t
2、,使得t(3)平面的向量表示通过平面上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l,直线l的 ,叫做平面的法向量确定平面位置过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的2.平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n(x,y,z)；(2)找出(求出)平面内的两个 的向量a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组,取其中的 ,即得平面的一个法向量3.空间中直线、平面的平行设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为,v,则线线平行lm akb(kR)线面平行la 面面平行
3、v 4. 空间中直线、平面的垂直设直线l的方向向量为a(a1,b1,c1),直线m的方向向量为b(a2,b2,c2),平面的法向量(a3,b3,c3),平面的法向量为v(a4,b4,c4),则线线垂直lm a1a2b1b2c1c20线面垂直la 面面垂直v v0 【小试牛刀】1.判断正错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行( )(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a(1,2,2),b(2,3,2),则l1l2.( )(3)平面的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量( )(4)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直( )(5)两个平面的法向量平
4、行,则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直( )2若A(1,0,1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6) B(1,1,3) C(3,1,1) D(3,0,1)3已知平面的法向量为a(1,2,2),平面的法向量为b(2,4,k),若,则k等于()A5 B4 C4 D5【经典例题】题型一求平面的法向量例1 如图所示,在四棱锥SABCD中,底面是直角梯形,ADBC,ABC90,SA底面ABCD,且SAABBC1,AD,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量跟踪训练 1 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,
5、0),求平面ABC的一个法向量题型二 空间中直线、平面的平行问题注意：利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题例2已知u是平面的一个法向量,a是直线l的一个方向向量,若u(3,1,2),a(2,2,2),则l与的位置关系是_例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PDDC,E是PC的中点证明：PA平面EDB.题型三 空间中直线、
6、平面的垂直问题例4 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14,求证：ACBC1.例5 在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M,使得A1M平面AED.跟踪训练3如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点求证：A1O平面GBD.【当堂达标】1下列命题中,正确命题的个数为()若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2；若n1,n2分别是平面,的法向量,则 n1n20；若n是平面的法向量,a是直线l的方向向量,若l与平面平行,则na0；若
7、两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直A1 B2 C3 D42已知a(2,4,5),b(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量若l1l2,则()Ax6,y15 Bx3,y Cx3,y15 Dx6,y3设直线l1,l2的方向向量分别为a(2,2,1),b(3,2,m),若l1l2,则m等于()A2 B2 C6 D104设直线l的方向向量为a,平面的法向量为b,若ab0,则()Al Bl Cl Dl或l5在直三棱柱ABCA1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号)； ； ； .6已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2),b(x,2,3),且,则x_.7在三棱锥SAB
8、C中,SABSACACB90,AC2,BC,SB,则异面直线SC与BC是否垂直_(填“是”或“否”)8.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ADCD,ABCD,ABAD2,CD4,M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE；(3)证明平面BCE平面BDE.【参考参考答案】【自主学习】1.位置向量 方向向量 方向向量 2.不共线 一组解 3. ab a0 kv(kR)4. ab0 ak(kR) a3a4b3b4c3c40 【小试牛刀】1. 2.A 解析A,B在直线l上,(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量3.D 解析,
9、ab,ab282k0,k5.【经典例题】例1 解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1),则,.向量是平面SAB的一个法向量设n(x,y,z)为平面SDC的一个法向量,则即取x2,得y1,z1,故平面SDC的一个法向量为(2,1,1)跟踪训练 1解设平面ABC的法向量为n(x,y,z),由题意知(1,1,0),(1,0,1)n,n,解得令x1,则yz1.平面ABC的一个法向量为n(1,1,1)例2 l或l 解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua,所
10、以l或l.例3 证明(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1)设n1(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1,n1,即得令z12,则y11,所以n1(0,1,2)因为n1220,所以n1.又因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0),设n2(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2,n2,得得令z22,
11、得y21,所以n2(0,1,2),因为n1n2,所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2 证明如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设PDDCa.方法一连接AC,交BD于点G,连接EG,依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,)因为四边形ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心,故点G的坐标为(,0),所以(,0,)又(a,0,a),所以2,这表明PAEG.而EG平面EDB,且PA平面EDB,所以PA平面EDB.方法二设平面BDE的法向量为n(x,y,z),(0,),(a,),则有即即令y1,则所以n(1,1,1),又(a,0,a),所以n(1,1,1)(
12、a,0,a)aa0.所以n.所以PA平面EDB.例4 证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3,BC4,AB5,AC,BC,C1C两两垂直如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),(3,0,0),(0,4,4),0.ACBC1.例5 (1)证明以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),(2,0,0),(2,2,1),(0,1,2)设平面AED的一个法向量为n1(x1,y1,z1)由得令y11,得n1(0,1,2)同理,平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1)n1n2(0,1,2)(0,2,1)0,n1n2,平面AED平面A1FD1.(2)解由于点M在直线AE上,因此可设(0,2,1)(0,2,),则M(2,2,),(0,2,2)要使A1M平面AED,只需n1,即,解得.故当AMAE时,A1M平面AED.跟踪训练3 证明方法一如图取D为坐标原点,DA、DC
