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1、子空间迭代法子空间迭代法是求解振动问题常见的方法。一、子空间迭代法步骤简述振动方程的一般形式是KX+MX=0其解可以表示为X=0f(t)其中X=工1%2xnV0=01020nV带入变形后M0=入K0两边同时除以KA=1P。Dq=0102.0s组成该矩阵的各矢量与所要求解的前S阶特征矢量不正交，而且相互独立。通常取为10一D=：.11.同时对矩阵中的各列向量进行迭代计算，以提高后续Ritz法求得的振型和频率的精确度。实践中，这一步要对迭代后的向量分别归一化处理=ADq迭代的目的是使比含有较强的低阶振型成分，缩小高阶成分。但如果继续用进行迭代,那么的各列都将收敛于第一阶振型，为避免这一点，可在迭代
2、过程中进行振型的正交化。(3) 按Ritz法进行正交变换X=辱从而得到一个新的、降阶后的特征值问题：(Ra)2M)a=0R=KDiM=DMDr(4) 解上述特征值问题，并形成下一次迭代的矢量矩阵(。)j=1缶然后，再以作为假设的振型矩阵，返回第二步进行迭代计算，直到求出的系统前s个特征值都满足精度要求为止。二、计算结果在进行计算前,首先在ANSYS中计算，计算结果如下：118.12一阶模态17.25NODALSOLUTIOHNODALSOLUTIOHANSYSNODALSOLUTIONANSYSSTEP=1SUB.FREQ-17.25USUM(AVG)RSYS-0DMX-1.73SMX=1.7
3、3DEC4201420:32:28STEP=1SUB.2FREQ-118.12USUM(AVG)RSYS-0DMX=1.823SMX-1.823DC4201420:33:23ANALYSIS.38449.7689791.1531.538.192245.576735.9612241.346.405107.8102141.215.202554.6076611.0131.4181.823ANALYSIS147.59402.81NODALSOLUTIONANSYSDEC4201420:34:19NODALSOLUTIONSTEP=1SUBFREQ-402.777SUM(AVG)RSYS-0CHX=1.
4、927SMX=1.927ANSYSDEC4201420:36:12.214118.6423551.5952.2332.871ANALYSIS.637939.318969.9569081.2851.7131.4991.927ANALYSISANSYSDEC4201420:37:36611.54NODJILSOLUTIONSTEP-1SUBSFREQ-611.653USUM(AVG)MXRSYS-0DMX-1.69SMX1.690.375631.7512611.1271.503.187815.563446.9390771.3151.69ANALYSIS然后从ANSYS建模中提取K,M矩阵，进行下面
5、的计算。1.计算MAC值：用MAC值评价子空间迭代法得到的前5阶振型与有限元方法得到的振型之间的相关程度;式(1.1)中，0,为子空间迭代法得到的第i阶振型；仇为有限元方法得到的第i阶振型；在-张图上绘制MAC随迭代次数变化的曲线；共有5条曲线，通过这5条曲线，可以观察迭代过程中，特征向量收敛到准确值的过程。由图像可知，子空间迭代法很快收敛到准确值，故计算方法很高效，不需要太多步骤的迭代。2.由子空间迭代法可以得到前5阶固有频率定义的向量wW=a)r(jl)20)3口4由有限元法得到的前5阶固有频率定义向量W=&)10)2矛34ST计算两个向量之差的二范数|w-w|,绘制二范数|w-w|随迭代
6、次数变化的曲线，观察迭代过程中，特征值收敛的过程。由图像可知，二范数|w-w|很快收敛到0,说明计算值与准确值十分接近，这与MAC值计算的结果相同。都说明了子空间迭代法的准确性和有效性。3.假设已知第三阶固有频率，请用带移频的矩阵迭代法求解第三阶振型，并计算MAC3随迭代次数的收敛曲线。首先根据前面的计算结果，可知第三阶固有频率对应的入值。矩阵迭代法通常用于求解第一阶固有频率；此时，可以利用带移频的矩阵迭代法求解第三阶固有频率。入870000移频后A=(K入M)TM,使得原本的第三阶固有频率成为现在的第一阶固有频率。计算的结果入=同理可以此过程的MAC值，计算结果如下:1.210.80.60.
7、40.2由计算结果可知，矩阵迭代法也很快收敛，达到理想的结果。三、结论综上所述，子空间迭代法可以很好的计算前n阶固有频率以及特征向量。在己知结构固有频率的大致范围时，移频的矩阵迭代法也可以计算某一阶固有频率。附matlab计算代码%本函数是利用子空间迭代法求解有限元问题clearclcm=input(,m=,);%把ANSYS中提取的质量刚度矩阵进行重新排列，组装成完整的矩阵Y=importdata(SOLID.txtl);%提取数据K=zeros(90,90);%设置刚度初始值fori=l:90%根据对应关系赋值forj=l:90hang=36*(i-l)+ceil(j/5);lie=j-5
8、*(ceil(j/5)-l);K(ij)=Y(hangJie);M=zeros(90,90);%设置质量初始值fori=l:90%根据对应关系赋值forj=l:90hang=36*(i-l)+18+ceil(j/5);lie=j-5*(ceil(j/5)-l);M(i,j)=Y(hang,lie);endend%求解特征值准确值A=KM;VO,WO=eig(A);%第一问、第二问;求mac值和二范数%子空间迭代法p=m+8;D0=eye(90,p);fori=2:90D0(i,l)=l;endMAC=zeros(6,30);CHA=zeros(5,30);KDD=l:30;k=l;whilek
9、=30D1=A*(DO);D1=D1/(D1*D1)AO.5;K1=D1*K*D1;M1=D1*M*D1;B=K1M1;V,W=eig(B);DO=D1*V;fori=l:5%计算MAC1值js=D0(:,i);js=js/(js*js)A0.5;zh=V0(:,i);zh=zh/(zh*zh)A0.5;mac=(js,*zh)A2)/(js*js)*(zh*zh);%计算二范数chal=zh-js;if(chal*chal)A0.5lcha=(chal*chal)A0.5;elsechal=zh+js;cha=(chal*chal)A0.5;endCHA(i/k)=cha;MAC(i,k)=
10、mac;endk=k+l;endfigure(l)plot(KDD,MAC(l,:)；b,/KDD/MAC(2,:)z,g,/KDD,MAC(3,:),k,/KDD,MAC(4/:)/,m,KDD,MAC(5/:),y,)figure(2)plot(KDD?CHA(l,:)；b,KDD,CHA(2/:),g,KDD,CHA(3,:),k,KDD,CHA(4/:)；m,KDD,CHA(5,:)；y,)%第三问%带移频的矩阵迭代法，由之前的计算可知，第三届的频率对应的值约为870000，该值作为移频值Xl=ones(90,90);AA=(K-870000*M)M;fori=l:30Y1=AA*X1;X1=Y1/Y1(9O,1);%计算Mac3的值js3=Yl(:,l)；js3=js3/(js3*js3)A0.5;zh3=V0(:,3);zh3=zh3/(zh3,*zh3)A0.5;mac3=(js3*zh3)A2)/(js3,*js3)*(zh3*zh3);MAC(6,i)=mac3;enddisan=(Yl(90,l)A(-l)+870000;%第三阶的频率pinlv=sqrt(disan)/6.28figure(3)plot(KDD,MAC(6,:)
