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1、最短路线和最速降线、最短路线1 .问题 设一辆汽车停止于 A处并垂直于 AB方向，此汽车可转弯的最小圆半径为R,求不倒车时由A移到B的最短路线。(1)讨论AB 2R的情形。(2)简单讨论 AB2R的情形。以AB为Y轴正向，作一半 径为R的圆F与X轴切于A点，问题就是要找一条最短曲线连结 AB ,在A点切于X轴正向，且任一点的曲率半径不小于Ro直观上不难猜测出最短路径。 从B点向圆F做切线BC ,那么 由A点沿圆弧 AC移到C点，再沿直线移到 B点，这就是最短路 径(如图1所示)。为了证明这一事实，作一条直线l通过圆r的中心O和C点。假设汽车沿某一条曲线 1由A点移到B点，因A、B分别在直线l两
2、侧，口与l必有一交点G,71被分成弧AC和弧BC1两段。因BC与l垂直，弧BC1的长度必不小于线段 BC的长度(当且仅当弧BG与线段BC重合时才可能相等)。设弧AC1的参数方程为x =x(s), y =y(s),x(0) =0, y(0) =0其中s为弧长。在点(x(s), y(s)处，曲线的切线与 X轴的夹角记为e ,依条件有I ds| R当s =0时，日=0,故sss-0 1- Rds - 0du 01 Rds,从而s EjR。研究曲线上的点与直线l的距离(在l的右边为正)J(s) = x(s)cos ： -(y(s) - R)sin ： , - - BOC因为dx = cosudsds=
3、sin9故ssx(s) = 0cosu(t)dt, y(s) =：0 sini(t)dt因此ssJ (s) = cos： 0 cos【(t)dt - sin 一：( 。sin1(dt) - R)s=0 cosO(t)二二)dt Rsin ;有恒t) Mt/R。当 0 Mt WR(兀-a)时,+ot 6(t)+a -+a ji o1RR故 cos(*t)二工)_cos(、：)s故当 0 sR(n 0()时，J(s)之 Is- ：)dt Rsin =Rsin(二)1 0这就是说，当汽车移动距离不超过R(n -a)(就是弧AC的长度)时，它不可能越过直线1。因此弧ACi的长度至少为 R(n -a),
4、并且只有当弧 AG与AC完全重合时，它的长度才能等于R(n口)。总结上述讨论，知曲线 口的长度必不小于 R(n s)+Rtana,并且只有当1与ACB 重合时才可能相等。因此 ACB是唯一的最短路径。(2)若B点在圆内，即AB2R,则应过A点作一半径R的圆，其圆心在 BA延长线上，再过B点作一圆，半径为R,且与前圆切于点 C,则最短路径是弧 AC和弧CDB所 组成的曲线(如图 2所示)。图2最速降线1 .问题 意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题 错直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,如图3,求连接它们的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A点滑到B点(摩
5、擦力不计)”。他说这曲线是圆，可是这是一 个错误的答案。瑞士数学家约翰伯努利在1696年再提出这个最速降线的图3问题(problem of brachistochrone ),征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利兄弟。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰 伯努利用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅各布伯努利用比较麻烦的办法解决了这个问题。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线或圆滚线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆 动所用的时间相等，所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。数学家十分关注最速
6、降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在雅各布 伯努利方法的基础上，1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。现在来看，雅各布的方法是最有意义和价值的。2 .假设 质点在滑动过程中不考虑空气阻力。3 .模型 尽管A, B两点间的最短距离是连接它们的直线，但是沿直线运动时速度增长较慢，如果沿一条陡峭的曲线下滑，虽然路径加长，但运动速度增长很快。为了求这条运动时间最短的曲线，在图 3中将A点取为坐标原点(0,0), B点坐标为(x1,y1 ),连接A, B的曲线记为y(x),于是曲线上的弧长为 +y2dx.根据能量守恒7E律，质点在曲线 y(x)上任一点
7、的速度 两足-则)二小即 其中m是质点的质重，g 是重力加速度。将上面 ds的关系代入，得到dt=处巴心,于是质点沿曲线y(x)从A点滑到B点的时间可表示为y（x）在A, B两个端点应有(2)y(0)=0,y(x 1)-y1最速降线问题归结为求y（x）,在满足（2）的条件下，使（1）的J（y（x）达到最小。4.求解 约翰伯努利设想质点也像光线那样按从A到B耗时最少的路径滑行，根据光学原理（史奈尔折射定律）得(3)sin ;c(吊数)v(4)由能量守恒定律得v =.函由几何关系得sin 二二cos :sec：1 tan2 :(5)由（3）、（4）、y(1 + y2) =b其中b =(6)tan=
8、(yb -y1)2,贝=bsin2 Qdy = bsin 2中dQ1dx =( y )2dy = 2bsin2 中dQ 积分后得 b - yx=b(2 : - sin 2 :) c1 2由曲线过原点知，=0,x=y=0,于是c1 = 0,故x =：(2 : -sin2 )y = b(1 -cos2 :)2令a=b,e =2%则2x = a( - -sin -)y = a(1 - cos -)也可令y -cot Q则y=bsin2 ,dy = bsin 2 d ：,dx = dy = 2b sin2 d :. y上述解法让我们见识了数学建模中的类比想象能力是何等的宝贵。现实世界各种现象 之间的模拟是一种重要的科研方法。约翰伯努利解决最速降线的方法非常奇妙，表现出 惊人的想象力，可以说是一项水平极高的艺术工作。5,应用 滑梯是儿童乐园中常见的玩具。有的滑梯的滑板是平直，还有一种滑梯是弯 曲的，它的滑面是旋轮线。旋轮线滑面上的小朋友可以最短时间到达地面。最速降线在建筑中也有着美妙的应用。我国古建筑中的大屋顶”，从侧面看上去，等腰三角形”的两腰不是线段，而是两段最速降线。按照这样的原理设计，在夏日暴雨时，可以使落在屋顶上的雨水，以最快的速度流走，从而对房屋起到保护的作用。
