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1、精品文档i欢迎下载概念抛物线的常见性质及证明焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2=2px (p0)焦点F的弦两端点为A(xi, yi), Bd, y2),倾斜角为cc ,中点为C(xo,y 0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线,垂足为 A、B、C.1.求证:焦半径| AF |=x1 | AF | +r-BF| xi=x2( x =90 )时,2P.2 sin .3焦半径|BF|二X2弦长 | AB |= xi + x2 + p=弦长|AB|最短，称为通径，长为2P；证明：根据抛物线的定义,p| AF| =| A
2、D| =xi + ? |BF |=| AB| =| AF |十 | BF | =Xi + X2+p如图2,过A、B引x轴的垂线 AA、BB,垂足为A、Bi,那么 | RF| =| AD| | FA | =| AF |AF|cos 1. | AF | =| RF|i cos 旷 i cos 日e| RF|p同理BF| =1嬴=五黑p| AB| =| AF| +| BF| =?3+i + cos6-_2p_ sin 2 0._ i _i 一Sa oab= Sa oaf+ S obf= 2| OF|yi | 十2| OF|2yiy2= - p ,则 yi、y2异节，因此，|E二22P. 2 一sin
3、 -i cos：AOB的面积S OAB=pBC| =x2+2,B(x2, V2)-0F Aix图2i pyi 1 =2 2 (|yi | + |yi |)a(xi, yi)yi | 十| yi | = | yi-y2 |精品文档$0AB= p| yiy2 | = pf(y22i + y24yiy2 = p/4n2p2+4p2 =p271 + n2=2s .#欢迎下载1 | AF| +|12bfT=P2P .22 .求证： x&=一； yy2=-p .4，当AB，x轴时，有AF = BF二p,成立;当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为:=k1 x-p :代入抛物线方程:I 2 ）k2 x=
4、2 px.化简得:k22-p k2 2 x -p-k24=011)之二根为 x1 , x2,x1k2 xZAFbf|aa,|BB1px1x2-x2x2pCK B，x1 x2 px x2 p 2=-22 =-二已卫 1 x2 P p42423 .求证：/ACB=/AFB = Rt/.先证明：ZAMB= RtZ【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图3,A（x1，y1） AD阵 ECM|AM|= | EM , |EC| =|AD |. |BE|= | BC| + |CE| = |BC|十 | AD|B(x2, 丫2)=| BF | + | AF| =| AB|.AB等腰三角形，又 M是AE的中
5、点,BMLAE 即 / AMB= RtZ【证法二】取 AB的中点N,连结MN则1| MN =2(| AD| +|八 iiBC|) =2(| AF| +| BF |) =2| AB| ,，| MN =| AN|=| BN|. ABM直角三角形,AB为斜边，故/ AMB= RtZ .【证法三】由已知得 C（-pp ，,一y2）、口2，yi），由此信 M y-y22).yi+ y2kAM=JXi+22/、p(yi-p)yi y2p(yi -y2)yikAM。kBM= P. .yi=2=2 y +p2p22= p = p y2yiy2 py；+p22 .2yi+p同理kBg-yiy2，BMLAE 即/
6、 AMB= RtZ .【证法四】由已知得ppC(2, y2)、D(-2, yi),由此得p yi+y22，2 ),二.A=(xi + pyi一y2一p y2yiJ2),MB=(X3+2,勺HRa 布B=(xi+p)(X2+p)+(yL y2)( y2 yi)p=X1X2 + 2( xi + X2)+4p2 (yi二y2)2222=泞(依)-422yi + y2 2yiy2py2 p , -p2十一AMB= RtZ .【证法五】由下面证得/DFG= 90 ,连结 FM 贝U F阵 DM又AD= AF,故AD阵AFM如图4. .-DF - -Cf=p2+ y1y2= 0DfCf ,故/ DFC 9
7、0 【证法四】由于| RF| 2=p2=yy2=| DR| | RC| ,即|一RF|一，且/ DRF= / FRC= 90DR/ FRC ./ DFR= / RCF 而 / RCFb / RFC= 90 ./ DFRF / RFC= 90 ./ DFC= 904. C A、C B是抛物线的切线1 = / 2,同理/ 3=7 412+Z 3 = 2* 180 三 90 ./ AMB= Rt Z.接着证明：/DFC Rt/【证法一】如图 5,由于| AD | =| AF | , AD/ RF, 故可设/ AFD= / ADF= / DFR= % 同理，设/ BFO / BCF= / CFR=P,
8、而/ AFDF / DFRF / BFO / CFR= 1802( a+ P) = 180 ,即 ot+ P= 90 彳 故/ DFC= 90【证法二】取 CD的中点M即Mp, 修”)P V2 V2 P由前知 kA , kcF=y1，p p p y1+ 2+2.kA kcF, AM/ CF,同理，BM/ DF，/ DFC= / AMB= 90 .【证法三】. Df = (p, -y1), CF=(p, y),2ppyi【证法一】: kA y, AM勺直线方程为y yi = y( x2p)与抛物线方程y2=2px联立消去x得p y yi22yy1 = U(-彳)，整理信 y -2yiy+yi=
9、0yi 2p 2p可见= (2 yi)2 4y2= 0,故直线AMW抛物线y2=2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导，(y2)；= (2px)x,yi)处得 2y y；=2p, y；= p,故抛物线 y2=2px 在点 A(xi,的切线的斜率为 卜切=丫；| y=yi = E.P1p又kA-上，切=女人外即AMI是抛物线在点 A处的切线，同理BM也是抛物线的切线 yi【证法三】:过点 A(xi, yi)的切线方程为yiy=p(x+ xi),把M( -p, ”)代入222左力=1, yi+y2_yi+yiy2_2pxi-p =_p工Jy
10、i2 2-2-pxi 22右边=p( p+xi) =+pxi,左边=右边，可见，过点A的切线经过点 M即AMI是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线.5. C A、CB分别是/ AA所口 / BBA的平分线.【证法一】延长 AMI交BC的延长线于 E,如图9, 则4 AD阵 ECM 有 AD/ BC AB= BE ./ DAIM= / AEB= / BAIM即AM平分/ DAB同理BM平分/ CBA【证法二】由图9可知只须证明直线 AB的倾斜角 值是直线AM勺倾斜角口的2倍即可，即=2P.且M-p,若与y2yiy2yi2p tan o(= kAB= 22=X2 xiy2 yi yi + y
11、22p 2pyi+ y2y一一2一tan F= kAM=,pxi+ 22一 p,、p(yi )yi y2p(yi y2)yi p2y 2p+p2 / yi+p22=yi+py1.tan 2一i tan p i-2pyi_(：)2y12pyi2pyi2yr7=y=岛=tanc(. a= 2 P,即 AMff分/ DAB 同理 BMFF分/ CBA6. AC、AF、y轴三线共点，BC、BF、y轴三线共点【证法一】如图i0,设AM与DF相交于点G,由以上证明知| AD | =| AF | , AM平分/ DAF故AG也是DF边上的中线, .G是DF的中点.设AD与y轴交于点D , DF与y轴相交于点
12、 G,易知，| DD| = | OF | , DD/ OF故4 DDGA FOG| DG| =| FG|,则G也是DF的中点. .G与G重合(设为点 G ,则AM DR y轴三线共同理BM CE y轴也三线共点.【证法二】AM勺直线方程为y-yi = (x-i),yi2P令x = 0得AM y轴交于点G(0,，又DF的直线方程为y=- p(x-2),令x=0得DF与y轴交于点G(0 ,；) AM DF与y轴的相交同一点 Q0, ),则AM DF、y轴三线共点,同理BM CR y轴也三线共点 H.由以上证明还可以得四边形 MHFGb矩形.7. A、Q B三点共线，R O A三点共线., 一yiyi2P【证法一如图 ii , kOA= = 2=一,Xiyiyi2p,y2kOc= p一22y22py22py22pyy yikoA= koc,则A、Q C三点共线,同理D. QB三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O1| RO | CO | BF|. AD/ RF/ BCI OF| CB|AD | 一 |CA | 一 | AB |I AF |AD| = |AF | , | BC
