数学建模课的案例教学法

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1、数学建模课的案例教学法数学系本六班 姓名：王秀伟 指导教师：王维平 摘要：案例教学法是最能体现数学建模课特点和目的的教学方法， 本文主要介绍了如何运用 案例教学法来组织学生进行教学， 以及如何选择适合的案例， 并且给出了具体的实例规范地 演示了案例教学法的整个过程关键词： 数学建模、案例教学、数学模型、教学方法1数学建模与数学建模教学我们已经进入了计算机革命的时代，这个时代有二个主要特点：一是计算 机的迅速发展，计算机技术应用领域愈来愈广泛；二是数学使社会日益数字化， 数字电路、数字通讯、数字地图（甚至最近提出的数字地球） 、数字战争等已成 为当今高科技研究成果的代表词汇 但是，要利用数学的理

2、论和方法解决各类实 际问题关键的第一步就是建立实际问题的数学模型，即数学建模数学建模是运用数学工具和计算机技术建立数学模型来解决各类实际问题 的一门新学科开设数学建模课的目的是让学生学会灵活运用已学过的数学方法 和计算机技术去分析研究对象的特点， 抓住关键因素， 进而建立一个解决实际问 题的数学模型， 并通过求解数学模型来解决实际问题 这也是大学素质教育和能 力培养的重要内容很明显，数学建模课已不是传统意义上的数学基础课，如果仍采用传统的 数学课教学方法，即“教师讲、学生听、做习题、考试” ，显然达不到开设数学 建模课的目的为了让学生自觉地把已学过的数学知识与我们周围的现实世界联 系起来，使学

3、生知道数学有用，怎样运用，应该在教学中，以典型实际问题的建 模例子（即具体案例）作为教学内容，通过典型问题的建模示例，介绍数学建模 的基本过程，掌握数学建模的思想方法将上述指导思想贯彻到教学过程中，即案例教学法案例教学法作为一种 新颖教学方法，其有效性得到国际社会公认，它已在法律、经济、军事等课程教 学中应用，但对数学课教学来说，它是首次，经过多年的教学实践，我们认为案 例教学法是最能体现数学建模课特点和目的的教学方法2案例教学法的组织与实施 如上所述，案例教学法，就是指在课堂教学中，以具体案例作为教学内容， 通过具体问题的建模示例， 介绍数学建模的思想方法 课堂上可以是教师讲， 也 可以进行

4、课堂讨论，由学生发言，报告对问题的理解和所建的数学模型的认识， 并提出新的数学模型，对其求解、分析讨论、进行比较、验证实施案例教学法 有以下三个环节21 案例的选择 要组织好案例教学，最基本的是选择好案例选择案例时，要考虑以下几 个方面：一是要有鲜明的教学目的性这个目的就是要培养学生的分析解决问题的 能力，这种教学目的性不仅反映在单个案例的学习中， 还要反映在整个课程的教 学设计上 学生通过众多的表面看来互不相关、 支离破碎的， 然而实际上都是精 心选择、用心安排的案例学习活动， 在反复的分析活动中， 经过不断对比、 归纳、 思考、领悟， 将建立起一套对个人特别适合和有效的思维和处理问题的程式

5、， 这 种缓慢而艰巨的自我领悟过程，将带来学习和分析能力的升华与质变 二是要有趣味性通过调查学生对数学建模都怀有浓厚的兴趣，但普便存 在畏难情绪 因此我们在具体组织案例时， 针对这些具体情况， 首先选择些既趣 味，又能充分体现数学建模思想方法的简单案例， 如椅子能否在不平的地面上放 稳？人狼羊菜过河， 七桥问题， 为什么发射卫星需要三级火箭等， 从培养兴趣着 手，让学生逐步体会到建模方法与数学的重要性三是要有高度的拟真性案例的趣味性是增加学生的学习兴趣，而学习数 学建模的目的在于解决实际工作中的问题， 因此，案例选择的拟真性尤为重要 在 教学中我们为学生提供的案例尽可能具有真实性和实用性四是要

6、有代表性和广泛性避免涉及过多的专业知识，又要考虑到当今科 学技术的发展、学科间的互相渗透， 照顾到拓宽学生的知识面， 案例涉及到经济、 生态、社会、医学、测绘、管理、军事等方面内容，这些问题的实际背景容易被 学生了解和接受， 有的就是平时所接触过但又不深入了解的普通问题， 学起来饶 有兴趣，颇感亲切22课堂讲授在讲授具体案例时 ,一是抓两头 :一头是突出从实际问题出发 ,讲清问题的背 景、建模要求和已掌握的信息， 如何利用合理的假设和简化分析， 从而提炼出数 学模型来；另一头是如何用求解结果解释实际现象， 检验模型， 而对求解的中间 步骤适当从间 这种讲授方法既突出了学习重点， 使学生了解和熟

7、悉建模的困难 和关键所在， 又让学生有余地去钻研和进一步学习有关的数学理论 如讲授传染 病模型时 ,不同假设会导致不同的结果 ,从实际出发 ,不断的修改使之趋于合理才 会得到一个成功的模型 ,同时还可以进一步看到还有那些改进和发展的方向 ,又例 如在介绍人口模型时 ,采用不同的数学方法研究同一个问题的不同侧面 ,从而达到 不同的建模目的 ,解决不同层次的问题二是教师讲与学生讨论相结合案例的背景、关键因素、所要应用的数学 工具，教师讲清楚，至于如何去粗取精，运用那些数学知识进行推导、如何建立 模型可以进行讨论式教学， 这样可充分调动教师和学生两方面的积极因素， 提高 学生的学习主动性和学习兴趣，

8、 使讲堂变学堂， 使传授知识变为学习知识， 从而 达到培养能力和提高素质的目的， 如人口的离散模型及部分竞赛优秀论文， 我们 先布置任务，介绍难点，问题的关键所在及注意的问题，让学生自学后先在小 组内进行讨论， 然后在课堂上进行报告， 报告内容可以代表小组集体的意见和观 点，也可以报告小组讨论中不同的意见和观点， 此时教师的主要任务是质疑， 让 大家来讨论以期达到共识， 然后写出书面报告或论文， 通过这种形式的讨论， 使 学生不但充分体会建立模型的全过程和重要作用， 又学会查找资料， 培养和提高 口头及书面表达（科技论文写作）能力三是注意现代教学手段的运用我们打破数学教学上一支粉笔、一块黑板

9、的传统，采用现代化的手段和方式来丰富我们的课堂教学形式， 如较多使用投影 仪、计算机等来加大课堂的信息量及处理我们过去难以处理和实现的信息， 获得 了较好的教学效果23 建模实践与考核 为了巩固课堂教学内容，使学生确有收获，建模实践训练也是教学的重要环节， 主要有以下几个方面：一是课后作业练习 数学建模的作业有两类： 一类是作业题， 基本上是用课 堂上讲过的数学方法建模或对讲过的案例中的有关内容作进一步的推导和讨论，以达到复习巩固目的；另一类是布置学生自学有关章节的内容(案例)，让学生明白这些模型的背景、建模目的、过程、结果分析等步骤，在这个基础上再动手 解决有关问题，这样一方面提高学生的自学

10、能力，让他们自己分析问题和解决问 题；另一方面培养学生的想象力，能够举一反三对部分基础好、作为培训的学 生，布置有关文献让他们课外自学，并按照要求写出读书笔记或论文， 锻炼其独 立思考及科技论文写作.二是上机实习.根据课堂教学的进度，布置学生进行上机实习的内容进行实 习，一方面能巩固课堂的教学内容，加深对内容的理解，体会到在分析，解决问 题中，数学建模和计算机技术的重要性；另一方面培养学生的上机能力(主要是 数值计算和数据处理能力)和使用有关数学软件包等计算工具，通过实习报告来 检验实习的效果和存在的问题，以便及时改进和提高.三是考试.考试主要包括两部分，一部分是平时成绩，占30%，主要是学生

11、的作业、自学讨论、报告及上机实习报告，并规定这项不及格者应视为该课不 及格，无补考，需跟下一届学生一起重修，这样督促学生每次作业，每次实习都 能认真对待；另一部分是闭卷考试，占70%，主要考核学生掌握基本数学方法及 建立简单的数学模型的情况，从督促学生复习的角度看，考试效果好.结合以上观点，现举一实例如下：磁带问题实录与评析高三年级(1)班1. 1. 1由教师首先提出以下问题：(1) 一盘60分钟的普通磁带有多长？(2) 盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少？(3) 取一盘磁带，观察当磁带全绕在一边(如左轮)时,磁带的边缘与另一轮边缘之 间最短距离是多少毫米？在放音过程中，这个距离会发生变化吗

12、？若变化是变 大还是变小？(请实验观察之)要使得在放音的任何时刻两轮磁带的外缘互不 接触,两轮轴间的距离最少应为多少毫米？完成这一专题作业的时间是一周，可以相互讨论，也可以使用必要的测量、 计算工具.1. 1. 2 一周后的交流、讲评.首先，由教师组织学生进行课堂讨论(先讨论问题(1)和(2).几分钟 后，全班学生分成四派：(1) 设法直接测量带长L与单层带厚度D ；(2) 设法直接计算L与D ；(3) 设法测量L，而去计算D；(4) 设法测量D，而去计算L；教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可 行的测量方案.在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下算法模

13、 型：先将磁带全绕在一边(如左侧)，测出图1中的R与r (实测为R = 24 mm，r= 10. 5mm)把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想 象成是由一条长为L (磁带长)宽为 D (磁带的单层厚度)的细长矩形环绕填充 而成.因此有：S 环=冗(R r )= L X D = S 矩形(1)教师：这个模型建立得非常好，但一个方程怎么解两个未知数L与D ?(图1)学生：可以用公式（1）测量一个量，求另外一个量. 老师：很好！那么测量哪一个？算哪一个？ 学生甲：测量D，算出L;学生乙：测量L,算出D”；学生丙： 两个测量更简单.教师：谁来谈谈测量L的方法？学生乙（举手发言）：将磁带从带头

14、开始，放入录音机走一分钟，取出磁带做上 标记，测量出一分钟走过的带长，再来乘 60就是总的带长.学生丁：不对，应将一分钟走过的带长乘以 30才是总的带长.教师：乙谈的不错，丁也补充的很好.60分钟的磁带单面放音时间约为 30分钟, 所以应将一分钟走过的带长乘以30而不是60.另外一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测量几次，取平均值作为测量的 最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一，谁再来谈谈怎么测量 D ?（静场约一分钟）学生甲（举手发言）：磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层 再测量.学生丙：可以把磁带绕在笔帽上 30圈，再测量内、外径就可以算出单

15、层厚度. 教师： 大家的想法都很好，试着做一下就会感到测D不太容易，比如绕在笔帽上绕齐30圈就不容易，再用普通尺子测准内、外径也不太容易.我给大 家一个建议，可以到物理实验室向那里的老师借用一下千分尺或游标卡尺用 一下.教师：对问题（1）（2）大家除了用前面的求解模型外，还有其他的方法吗？请大家考虑一下.教师提示：可以和我们学过的数列联系一下.全班沉默，几分钟后学生乙：L=2 n （ri+r2+rn），n= （R r） /D对于ri， rn不同的选取有三种计算方式：（1）ri=r， rn=R D （以磁带内层为基准）（2）ri=叶D， rn=R D （以磁带侧面中心线为基准）2 2（3）ri=

16、叶D，rn=R （以磁带外层为基准）.当D很小时，三种算法的结果非常接近，与前面的求解结果比较，相差也不超 过2rD,由此引导学生在比较中得到结论，当D很小时用：L= n （ R2 r2） /D求卷才之长比等差数列的方法更简捷有效.为了结合课堂所学的知识，教师进一步提出这样的问题，上面的求解模型，实际上是把磁带的（俯视图）内侧边缘的轨迹应是何种曲线，轨迹方程是什么？ 它的精确长度该如何求？（答：阿基米德螺线，p円+aq,见解析几何课本P.123, 它的精确求长要用到定积分的方法）对问题（3）,学生普遍地观察出，在放音初期受带轮转得快，供带轮转得慢， 故大盘变“瘦”的速度小于小盘变“胖”的速度，