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1、有关任意、存在、至少、恒成立问题1(本小题满分14分)已知函数。（）求函数的单调区间。KS5U.C(）若上恒成立，求实数的取值范畴(求f(x)的最大值)(）在（)的条件下,对任意的，求证：。 解：（）当时,恒成立,则函数在上单调递增；分当时,由，则 KS*5.C则在上单调递增,在上单调递减. 4分（）由(）得:当时显然不成立； 当时，,只需即可. 分令，则，函数在上单调递减,在上单调递增，即对恒成立,也就是对恒成立，解得,分若在上恒成立,1.10分分析；即求的取值范畴，由于要不不小于0,而是不不小于或等于0,因此只有，解得，（),11分由得,由(）得： ,1分则, KSU.C则原不等式成立.
2、高考资源4分2(本小题共14分）已知函数（)若，求函数的极值和单调区间；(） 若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范畴.解:(I)由于， 2分当， , 令，得 ， 分又的定义域为，,随的变化状况如下表:极小值 因此时,的极小值为1 5分的单调递增区间为,单调递减区间为; 6分（II）解法一：由于 ,且,令,得到 ， 若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值不不小于0即可 分 (1）当，即时，对成立,因此，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由,得,即 9分（2）当，即时， 若，则对成立，因此在区间上单调递减, 因此,在区间上的最小值为,显然，在区间上的最小值不
3、不小于不成立 1分 若,即时,则有极小值 因此在区间上的最小值为，由，得 ，解得，即 13分综上，由（1)（2）可知:符合题意. 14分 解法二：若在区间上存在一点,使得成立, 即,由于, 因此，只需 7分令，只要在区间上的最小值不不小于0即可由于,令，得 9分(1）当时：极大值 由于时,，而, 只要，得,即 11分 （）当时：极小值 因此，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ,即. 13分 综上,由()()可知,有 . 14分3 山东青岛一模已知函数()若,令函数,求函数在上的极大值、极小值;(2）若函数在上恒为单调递增函数，求实数的取值范畴解：（),因此由得或.因此函数在处获得极小值；在处
4、获得极大值(2） 由于的对称轴为若即时，要使函数在上恒为单调递增函数,则有，解得:，因此；若即时，要使函数在上恒为单调递增函数,则有，解得:,因此综上,实数的取值范畴为 4（本小题共4分）已知,函数,， .(）当时,求函数在点的切线方程；（)求函数在的极值;（）若在区间上至少存在一种实数,使成立,求正实数的取值范畴解: 由求导得,. 1分()当时, 3分因此在点的切线方程是 4分 （)令, (1)当即时（-1，0)000+极大值极小值 分故的极大值是;极小值是； 7分(2) 当即时 在上递增， 在上递减, 8分因此的极大值为,无极小值. 9分 ()设 对求导，得, 10分由于，因此,在区间上为
5、增函数,则. 1分依题意，只需，即,即,解得或(舍去).因此正实数的取值范畴是. 4分.（本小题满分4分)已知函数.()若，求曲线在处切线的斜率;()求的单调区间；（）设，若对任意,均存在，使得，求的取值范畴. 转化为. 解:()由已知， 分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时,由于，故,因此，的单调递增区间为. 分当时，由,得.在区间上，在区间上,因此，函数的单调递增区间为,单调递减区间为 8分（)由已知，转化为. 9分 10分由()知，当时，在上单调递增,值域为,故不符合题意(或者举出反例:存在,故不符合题意.) 11分当时，在上单调递增,在上单调递减,故的极大值即为最大值,，
6、 13分因此，解得. 1分6(本小题共14分)已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间； ()若函数在区间(，0)上至少有一种极值,求实数的取值范畴。解()当时,1分，分令得3分在（-,1)上单调递增4分（),分当时,易知在处获得极小值,适合题意；时,函数在区间（-，0）上至少有一种极值,则阐明的图像穿过轴负半轴；为二次函数,则或11分解得或13分综上,时满足题意14分 (海淀一模理18)（本小题共13分)已知函数,（）若，求函数的极值;（）设函数,求函数的单调区间;()若在()上存在一点，使得成立,求的取值范畴.解：()的定义域为， 1分当时，, ， 2分10极小3分因此在处获得极小值1.
7、分（), 分当时，即时,在上，在上，因此在上单调递减,在上单调递增; 分当，即时,在上,因此，函数在上单调递增. 分（II)在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值不不小于零. 分由（)可知即，即时, 在上单调递减，因此的最小值为，由可得,由于,因此； 1分当，即时，在上单调递增,因此最小值为,由可得； 1分当，即时, 可得最小值为，由于，因此， 故 此时，不成立 12分综上讨论可得所求的范畴是:或. 13分 8 (本小题满分4分）已知函数，其中 .()讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范畴；()设函数， 当时,若，总有成立，求实数的取值范畴 【解】（)的定义域为，且, 1分 当时，,在上单调递增; 2分 当时,由,得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增 4分(）,的定义域为 5分由于在其定义域内为增函数,因此，而，当且仅当时取等号，因此 分()当时,， 由得或当时,;当时，因此在上， 10分而“,，总有成立”等价于“在上的最大值不不不小于在上的最大值”而在上的最大值为注意不能用构造函数的措施,由于定义域不同。因此有 12分因此实数的取值范畴是 1分
