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1、 1 12数列1已知数列an中a11,an1(1)是否存在实数,使得数列a2n是等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;(2)若Sn是数列an的前n项和,求满足Sn0的所有正整数n.解(1)由已知,得a2(n1)a2n1(2n1)a2n3(2n)2n1a2n1.令a2(n1)(a2n),得a2(n1)a2n,所以.此时,a21.所以存在,使得数列a2n是等比数列(2)由(1)知,数列是首项为,公比为的等比数列,所以a2nn1,即a2n.由a2na2n1(2n1),得a2n13a2n3(2n1)6n3,所以a2n1a2n6n32n6n9,所以S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2
2、n)26(12n)9n3n26n1,从而S2n1S2na2n3n26n.因为和3n26n3(n1)23在nN*时均单调递减,所以S2n和S2n1均各自单调递减计算得S11,S2,S3,S4,所以满足Sn0的所有正整数n的值为1和2.2已知数列an的前n项和为Sn,设数列bn满足bn2(Sn1Sn)Snn(Sn1Sn)(nN*)(1)若数列an为等差数列,且bn0,求数列an的通项公式;(2)若a11,a23,且数列a2n1,a2n都是以2为公比的等比数列,求满足不等式b2nb2n1的所有正整数n的集合解(1)设等差数列an的公差为d,所以an1a1nd,Snna1d.由bn2(Sn1Sn)Sn
3、n(Sn1Sn)(nN*),得bn2an1Snn(2Snan1)又由bn0,得2(a1nd)n2na1n(n1)da1nd0对一切nN*都成立,即(d2d)n2(3a1dd22a1)n2aa1da10对一切nN*都成立令n1,n2,解得或经检验,符合题意所以数列an的通项公式为an0或ann.(2)由题意得a2n12n1,a2n32n1,S2n2n13(2n1)42n4,S2n1S2na2n42n432n152n14.b2n2a2n1S2n2n(2S2na2n1)22n(42n4)2n(82n82n)2n1(2n29n4)16n.b2n12a2nS2n1(2n1)(2S2n1a2n)62n1(
4、52n14)(2n1)(102n1832n1)2n1(302n126n11)16n8.所以b2nb2n12n1(2n29n4)16n2n1(302n126n11)16n82n822n182n.记f(n)22n182n,即f(n)2n8.记g(n)2n,则g(n1)g(n)2n12n5n2n5,当n1,2,3时,g(n1)g(n)0;当nN*时,n4,g(n1)g(n)2n50,因为当n1时,g(1)0,所以g(4)0,且g(6)0.所以f(n)2n8在n7(nN*)时也单调递增,当n1时,f(1)50;当n2时,f(2)340;当n3时,f(3)1000;当n4时,f(4)2240;当n5时,
5、f(5)3600;当n6时,f(6)240,所以满足条件的正整数n的集合为1,2,3,4,5,63已知等差数列an的前n项和为Sn,且2a5a313,S416.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)设Tn(1)iai,若对一切正整数n,不等式Tnm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列?若存在,求出所有的m,n;若不存在,请说明理由解(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313,S416,所以解得所以an2n1,Snn2.(2)当n为偶数时,设n2k,kN*,则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式Tnan1(1)n1an2n1,得2k4k,从而.设f(k),
6、则f(k1)f(k).因为kN*,所以f(k1)f(k)0,所以f(k)是递增的,所以f(k)min2,所以2.当n为奇数时,设n2k1,kN*,则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k.代入不等式Tnan1(1)n1an2n1,得(12k)4k.因为kN*,所以4k的最大值为4,所以4.综上,的取值范围为(4,2)(3)假设存在正整数m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列,则(SmS2)2S2(SnSm),即(m24)24(n2m2),所以4n2(m22)212,即4n2(m22)212,即(2nm22)(2nm22)12.因为nm2,所以n4,m3,所以2nm
7、2215.因为2nm22是整数,所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立,故不存在正整数m,n(nm2),使得S2,SmS2,SnSm成等比数列4若一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“A型数列”(1)若首项为1,公差为整数的等差数列an为“A型数列”,且其前n项和为Sn,若对于任意nN*,都有Sn2,由a11,得Snnd,且S1.由题意,得ndn2n对nN*均成立,即d3,d3,又d2,d3,an3n2.(2)设数列an的公比为q,则ana1qn1,an的每一项均为正整数,且an1ananqanan(q1)20,a10,且q1,an1anq(anan1)an
8、an1,即在anan1中,a2a1为最小项,同理,在bnbn1中,b2b1为最小项,由an为“A型数列”,可知只需a2a12,即a1(q1)2,又bn不是“A型数列”,且b2b1为最小项,b2b12,即a1(q1)3,由数列an的每一项均为正整数,可得a1(q1)3,a11,q4或a13,q2.当a11,q4时,an4n1,则cn,令dncn1cn(nN*),则dn2n3,令endn1dn(nN*),则en2n42n30,dn为递增数列,即dndn1dn2d1,即cn1cncncn1cn1cn2c2c1,c2c182,对任意的nN*都有cn1cn2,即数列cn为“A型数列”当a13,q2时,an32n1,则cn,显然,cn为递减数列,c2c102,故数列cn不是“A型数列”;综上所述,当an4n1时,数列cn为“A型数列”,当an32n1时,数列cn不是“A型数列”