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1、新版数学北师大版精品资料第1课时向量的加法核心必知1向量的加法法则三角形法则平行四边形法则作法已知向量a,b,在平面内任取一点A,作a,b,再作向量,则向量 叫作向量a与b的和,记作ab,即ab.已知向量a,b,在平面内任取一点A,作a,b,再作平行的b,连接DC,则四边形ABCD为平行四边形向量叫作向量a与b的和,表示为:ab.图示2向量求和的多边形法则向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边形法则,n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量,即3向量加法的运算律(1)交换律:abba;(2)结合律:(ab)
2、ca(bc问题思考1三角形法则与平行四边形法则对两向量的起点有什么要求?提示:三角形法则强调“首尾相接”,平行四边形法则强调“起点相同”2当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时,各向量的和等于什么向量?提示:零向量讲一讲1(1)如图已知ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:(2)如图,已知向量a,b,c,求作abc.尝试解答(1)延长AC,在延长线上截取CFAO,则向量即为所求在AB上取点G,使AGAB,则向量即为所求(2)在平面内任取一点O,作向量a,再作c,则ac,然后再作b,连接DC,于是向量abc即为所求(如图所示)1用三角形法则作两向量的和时,要注意两向量“首
3、尾相接”;用平行四边形法则作两向量的和时,要注意保持两向量有公共起点2求作共线向量或多个向量的和向量时,应首选三角形法则,注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点练一练1如图,已知向量a,b,c,d,求作abcd.解:(1)在平面内任取一点O,作a,以A为起点,作向量b,则ab;(2)以B为起点作向量c,再作d,连接OD.则向量abcd即为所求(如图)讲一讲2化简下列各式:.化简含有向量的关系式一般有两种方法:利用几何方法通过作图实现化简;利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序,有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量练一练2.
4、 下列向量的运算结果一定是零向量的是()讲一讲3一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d100 m,船的航行速度为v14 m/s,水流的速度为v22 m/s,试问当船头与水流方向的夹角为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大?尝试解答 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s),如图,设表示水流的速度,表示船的航行速度,以AD、AB为邻边作ABCD,则就是船实际航行的速度设BAC,BAD,则相对于垂直对岸的速度为vsin ,小船行驶到对岸所用的时间为t,(0,)故当sin 1,即90时,小船行驶到对岸所用的时间最少,最少值为25 s.在RtAB
5、C中,|2,|4,tan 2.故当船头与水流方向的夹角为90时,小船行驶到对岸所用的时间最少为25 s,此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值为2.用向量解决实际应用问题,关键是把实际问题转化为向量模型,本题中小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度,也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度,其解答思路可归结为:练一练3如图所示,两条细绳拉一个物体,两条细绳分别用力F1,F2,且|F1|3 N和|F2|4 N,夹角为90 .(1)作出这两条细绳的合力;(2)求合力的大小解:(1)作F1,F2以OA、OB为邻边作OACB连接OC,则F1F2即为所求(2)在RtOAC中,OA3,A
6、C|F2|4,|F1F2|5.故合力的大小为5 N.已知向量a,b的长度分别为8,2,试求|ab|的取值范围巧思向量a,b可能共线,也可能不共线,于是可考虑利用向量加法的三角形法则,数形结合求解妙解(1)若a,b共线,即ab,当a与b同向时,则|ab|a|b|8210;当a与b反向时,则|ab|a|b|826.(如图所示)(2)若a,b不共线,则向量a,b,ab对应的有向线段围成一个三角形,如图:由三角形的性质知,|a|b|ab|a|b|,即82|a|b|82,6|a|b|10.故|ab|的取值范围为6,101若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式成立的是()4设a表示向东走4 km,b表
7、示向南走3 km,则|ab|_ km.5.答案:56如图,D、E、F分别为ABC三边的中点,试画出+.一、选择题1如图,在ABCD中,下列结论错误的是().4下列命题如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么ab的方向必与a、b之一的方向相同;在ABC中,必有0;若0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;若a、b均为非零向量,则|ab|与|a|b|一定相等其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析:选B对于,若a与b方向相反,且|a|b|,则ab0,零向量的方向是任意的,所以不正确;正确;对于,若0,则A、B、C可能共线,所以不正确;对于,当a,b不共线或反向时,|ab|a|b|,不正确二、
8、填空题5若正方形ABCD的边长为1,a,b,则|ab|_.解析:|ab|.答案:6如图,已知ABC是直角三角形,且A90,给出下列结论:其中结论正确的是_(填所有正确结论的序号)|,所以正确;显然,正确答案:7在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h,渡船要垂直渡过长江,则航向为_解析:如图,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意,|12.5,|25,BDO为直角三角形,所以sinBOD.BOD30,航向为北偏西30.答案:北偏西308已知a、b、c是非零向量,则(ac)b,b(ac),b(ca),c(ab),c(ba)中,与向量abc
9、相等的个数为_个解析:根据向量加法的运算律,题中5个式子与abc均相等答案:5三、解答题9如图所示,O是四边形ABCD内任意一点,试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使ab,cd,并画出bc和ad.解:(1),a,b,c,d的方向如图所示(2)根据平行四边形法则,以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC,以OA、OD为邻边作平行四边形OAFD,连接OE、OF,则bc,ad,如图所示10在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30、60(如图),当重物平衡时,求两根绳子拉力的大小解:如图所示,作平行四边形OACB,使AOC30,BOC60,在OAC中,ACOBOC60,OAC90,|cos 30300150(N)|sin 30300150(N)|150(N),即与铅垂线的夹角为30的绳子的拉力是150 N,与铅垂线的夹角为60的绳子的拉力是150 N.