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1、数列中的求和问题一、公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接通过等差数列前 n 项和公式或 者等比数列前 n 项和公式来求和，一般出现在选择题和填空题中，解答题中文科 居多。例1. （ 2009江苏卷）设a 是公差不为零的等差数列，S为其前n项和，满足 nna 2 + a 2 = a 2 + a 2S = 7。求数列a 的通项公式及前n项和S ；23457nn解：设公差为d，则a2 - a2 = a2 - a2，由性质得3d(a + a ) = d(a + a )，因254343437 x 6为d 丰 0，所以a + a = 0，即 2a + 5d = 0，又由 S = 7得7a +_d =
2、7，431712解得 a=-5，d = 2,例2. （2009全国卷II文）（本小题满分10分）已知等差数列 a 中，naa37= 16, a + a 二 0 求 a 前 n 项和 s .46nn解：设a 的公差为d，则n(a + 2d )(a + 6d )= -1611a + 3d + a + 5 d = 011a2 + 8da + 12d2 = 16 0,且a丰1）的图象上一点，等比数列a 的前n项3n和为/(n)- c，数列b (b 0)的首项为c，且前n项和S满足S S =S + Snnnnn-1n n+1(n 2 ).（1）求数列a 和b 的通项公式;nn若数列 4前n项和为J，问T
3、n 黑的最小正整数n是多少? n n +1【解析】（i） Q/（】）=a = 3,a = f (1)-c =丄- c a132=f(2 )-c-f (1)-c 1 =a = f (3)-cH f（2）-c又数列a 成等比数列,a2a = - =1a81-T一 2721=c33，所以c二1 ；3又 b 0 0, ：$-亍=1；nnnn-1数列. i构成一个首相为1公差为1的等差数列，、心 =l+（n-l）xl=n ， S = n2n4 nn当 n 2 , b = S 一 S = n2 - (n 一 1)2 = 2n 一 1 ；n nn -1:.b 二 2n-1( n e N*)； n2）1 1
4、1 1=+ L + n bb bb bb b b1 2 2 3 3 4 n n+111+ lx3 3x51(2 n - 1)x(2n +1)1、1 f1 2n +1 丿n2n +12n + 11000 10002009 得 n 9满足T n10002009的最小正整数为 112.三、错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数的乘积组成的数列，可以通过 错位相减的方法来求和。例5. （2009全国卷I理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）在数列a 中，a = 1,a = （1+丄）。+二，求数列a 的前n项和Sn1n +1n n2 nnnaa11分析：（I）由已知有n + 1 n +
5、 b b =-n +1n 2nn+1n 2n利用累差迭加即可求出数列b 的通项公式：b = 2-丄（n e N*）nn2 n 1(II)由(I)知a = 2n-$S =工(2k 厶)=工(2k)工上n2n1n2k12k1k =1k=1k =1而工(2 k) = n(n +1),相减法模型,2k1k=1k=1Ek ” n + 2n + 2.2k12n1n =2n1k=1例6.(2009山东卷文)(本小题满分12分)等比数列 a 的前 n 项和为 S ， 已知对任意的 ne N+，点 （n,S ），均在函数nnny = bx + r（b 0且b丰1,b, r均为常数）的图像上.1）求 r 的值；n
6、 +1(11)当b=2时，记 b =(n e N +)求数列b 的前n项和Tn4annn解:因为对任意的n e N+,点（n,S ），均在函数y二b + r（b 0且b主l,b, r均为常数）的图n像上所以得S = bn + r,n当 n = 1 时,a 二 S 二 b + r,当 n 2 时,a 二 S S 二 bn + r - (bn一 1 + r)二 bn bn-1 二(b 1)bn-1,nnn1又因为a 为等比数列，所以r = -1,公比为b , 所以a = （b 1）bn-1nn(2)当 b=2 时，a = (b 1)bn-1 = 2n-1,n7 n +1 n +1 n +1b =n
7、 4a 4 X 2n12n+1n234n+11234nn+1则T + -+ + - +T + -+ + .+n2223242n+12n2324252n+12n+2两式相减，得1 t=2+2 + 211+ +252n +1n +12n+2123X(112n-11n +12n+23 14 2+1n +12n+22 n 222324所以 Tn31n +13 n + 3 22 n2 n +122 n +1例 7.（2008 全国一 19） （本小题满分 12 分）在数列a 中，a二1， a二2a + 2n 求数列a 的前n项和S .n1n +1nnn解：a 二 2a + 2n，n +1na an+1
8、n- + 1 ，2 n2n 1b b +1 ，n +1n则b为等差数列，b 1， b n， a n2n-1 n1nnS 1 x 20 + 2 x 21 + 3 x 22 + + (n 1) x 2n-2 + n x 2n-1 n2S 1 x 21 + 2 x 22 + 3 x 23 + + (n 1) x 2n-1 + n x 2nn两式相减，得 S n x 2n 1 x 20 21 22 一2n-1 n x 2n 2n +1n例 8. (2007 山东理 17)设数列a 满足a + 3a + 32a + + 3-1 a 上，a e N*. n123n 3设b -，求数列b 的前n项和S n ann例 9. （2007 全国 1 文 21 ）设a 是等差数列，b 是各项都为正数的等比数列，且a = b = 1, a + b = 21,n n 1 1 3 5a + b = 13。求数列j anl的前n项和S .53 b Jnn
