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1、二次根式的知识点汇总知识点一:二次根式的概念形如石(。之0)的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以a之。是指为二次根式的前提条件,如后,&+1,病1(m1)等是二次根式,而7-2,J-/-7等都不是二次根式。例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:J2、狗、1、JX(x。)、而、近、一五、xxyJx+y(x0,y?0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“*厂”;第二,被开方数是正数或0.知识点二:取值范围1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a叁0时,G有意义,是二
2、次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当ad),若a是负数,则等于a的相反数-a,即=、 ;2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;3、化简必时,先将它化成a ,再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简(1)希(2)正4)2(3)V25(4)J(-3)2例2填空:当a0时,序=;当aa,则a是什么数?例3当x2,化简 .(x-2)2- .(1-2x)2 .知识点六: f 与正 的异同点1、不同点:(gy与表示的意义是不同的,(JZy表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术
3、平方根;在 (而中仪之0 ,而中a可以是正实数,0,负实数。但(而与Jj都是非负数,即(瓜产之。,籽之0。j= M =因而它的运算的结果是有差别的,( =/训 ,而I-a (KO)2、相同点:当被开方数都是非负数,即心0时,(向=护;时,函)无意义,而亚二-a .知识点七:二次根式的乘除1、 乘法 Ta 而=,ab (a0, b/0)a 52、除法 b. (a 0, b0)反过来,反过来: 回=灰.岳 (a0, b0)(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)例1.计算(1)4V5XgX网巫X277(4)J1xV6例2化简(1)19M16(2)J16M81(3)J
4、9x2y2(4)V54例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:(1)J(Y)m(-9)(2),25=4、,12=8 342|x后=4X晨X后=4卷X(4)例5.化简:648例6.已知层=震,且x为偶数,求(1+X)忤空的值.3、最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)例1.把下列二次根式化为最简二次根式(1)3,15
5、;(2)、x2y4x4y2;(3),8x2y34、化简最简二次根式的方法:(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:附4+邛忑与溶石一存斯.说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.13、同类二次根式:被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时爰必将各个根式都化为最简二次根式。如J8与JT8知识点八:二次根式的加减1、二次根式
6、的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。例1.计算(1)J8+JT8(2)JT6X+J64X分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.解:(1)北+加=2应+3&=(2+3)夜=5e(2)J16x+J64x=44+8Vx=(4+8)xx=12xx例2.计算(1)3748-9J1+3712(V48+V20)+(加-而)例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(x9x+y23)-(x21-5x)的值.2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减3、二次根式的比较:(1)若白6,则有存;(2)若而小,则有白方.(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小例4.比较3J12与4J5的大小