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1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如石（。之0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a之。是指为二次根式的前提条件，如后,&+1,病1（m1）等是二次根式,而7-2,J-/-7等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：J2、狗、1、JX（x。）、而、近、一五、xxyJx+y（x0,y?0）.分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“*厂”；第二，被开方数是正数或0.知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁0时，G有意义，是二
2、次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当ad),若a是负数，则等于a的相反数-a,即=、 ；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值,一定有意义;3、化简必时，先将它化成a ,再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简(1)希(2)正4)2(3)V25(4)J(-3)2例2填空：当a0时，序=；当aa,则a是什么数?例3当x2,化简 .(x-2)2- .(1-2x)2 .知识点六： f 与正 的异同点1、不同点：(gy与表示的意义是不同的,(JZy表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术
3、平方根；在 (而中仪之0 ,而中a可以是正实数，0,负实数。但(而与Jj都是非负数,即(瓜产之。，籽之0。j= M =因而它的运算的结果是有差别的，( =/训 ，而I-a (KO)2、相同点：当被开方数都是非负数，即心0时，(向=护；时，函)无意义,而亚二-a .知识点七：二次根式的乘除1、 乘法 Ta 而=，ab (a0, b/0)a 52、除法 b. (a 0, b0)反过来,反过来： 回=灰.岳 (a0, b0)(思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0)例1.计算(1)4V5XgX网巫X277(4)J1xV6例2化简(1)19M16(2)J16M81(3)J
4、9x2y2(4)V54例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1)J(Y)m(-9)(2),25=4、,12=8 342|x后=4X晨X后=4卷X(4)例5.化简:648例6.已知层=震,且x为偶数,求(1+X)忤空的值.3、最简二次根式应满足的条件:（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例1.把下列二次根式化为最简二次根式（1）3,15
5、;（2）、x2y4x4y2;（3）,8x2y34、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式,即分解因式；（2）化去根号内的分母（或分母中的根号）,即分母有理化；（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来.（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：附4+邛忑与溶石一存斯.说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化.13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时爰必将各个根式都化为最简二次根式。如J8与JT8知识点八：二次根式的加减1、二次根式
6、的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变）,不能合并的直接抄下来。例1.计算（1）J8+JT8（2）JT6X+J64X分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：（1）北+加=2应+3&=（2+3）夜=5e（2）J16x+J64x=44+8Vx=（4+8）xx=12xx例2.计算（1）3748-9J1+3712（V48+V20）+（加-而）例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求（x9x+y23）-（x21-5x）的值.2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除,再加减3、二次根式的比较：（1）若白6,则有存；（2）若而小，则有白方.（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例4.比较3J12与4J5的大小
