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1、第二章第二章 矩矩阵运算和行列式运算和行列式 2.1 矩矩阵及其运算及其运算 一一. 矩矩阵与向量与向量 1. mn矩矩阵 元素元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n) 2.2 2.3 2.4 2.5 2.2 2.3 2.4 2.5 a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn注注: 元素都是元素都是实(复复)数的矩数的矩阵称称为实(复复)矩矩阵. 今后除非特今后除非特别阐明明, 我我们所思索的矩所思索的矩阵都都 是是实矩矩阵.例例例例1. 1. 某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商发发送四种送四种送四种送四种
2、产产品品品品. . A =A =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 16 16 20 16 16 B =B =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运
3、算及其运算 例例例例2. 2. 四个城市四个城市四个城市四个城市间间的的的的单单向航向航向航向航线线如下如下如下如下图图. . 假假假假设设aijaij表示从表示从表示从表示从i i市市市市 到到到到j j市航市航市航市航线线的条数的条数的条数的条数, , 那么右那么右那么右那么右图图可用矩可用矩可用矩可用矩阵阵表示表示表示表示为为1 41 42 32 3A = (aij) =A = (aij) =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0例例例例3. 3. 直直直直线线的普通方程的普通方程的普通方程的普通方程 A1x+B1
4、y+C1z+D1 = 0 A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 A1 B1 C1A1 B1 C1A2 B2 C2A2 B2 C2系数矩系数矩系数矩系数矩阵阵 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 3. 向量向量 n维行向量行向量: 1n矩矩阵a1, a2, , an n维列向量列向量: n1矩矩阵 a1a2an第第i分量分量: ai (i = 1, , n) n阶方方阵: nn矩矩阵 2. 方方阵 第二章第二
5、章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 4. 两个矩两个矩阵的行数相等的行数相等, 列数也相等列数也相等时, 称称 它它们是同型矩是同型矩阵.5. 假假设两个同型矩两个同型矩阵A = aijmn与与B = bijmn 满足足: 对于恣意的于恣意的1 i m, 1 j n, aij = bij都成立都成立, 那么称那么称这两个矩两个矩阵相等相等, 记 为A = B.二二. 矩矩阵的的线性运算性运算 1. 加法加法 两个同型矩两个同型矩阵A = aijmn与与B = bijmn的的和和C定定义为:
6、C = cijmn = aij+bijmn.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 注注: 假假设矩矩阵A = (aij)mn的元素都是零的元素都是零, 那么称之那么称之 为零矩零矩阵, 记为Omn. 在不引起混淆的情况下在不引起混淆的情况下, 简记为O.设矩矩阵A = (aij)mn , 记A = (aij)mn , 称称 之之为A的的负矩矩阵. 设A, B是同型矩是同型矩阵, 那么它那么它们的差定的差定义为 A + (B). 记为A B. 即即A B = A + (B). 第二章第
7、二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 2. 数乘数乘 设矩矩阵A = (aij)mn , 数数k与与A的乘的乘积定定义为 (kaij)mn ,记为kA或或Ak. 注注: 矩矩阵加法和数乘运算加法和数乘运算统称称为矩矩阵的的线性运性运 算算.即即kA = Ak =ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算
8、 3. 性性质 定理定理2.1 设A, B, C, O是同型矩是同型矩阵, k, l是数是数, 那么那么 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A,(4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA,(8) k(A + B) = kA + kB.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 三三. . 矩矩阵与矩与矩阵
9、相乘相乘 例例例例4. 4. 某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商某厂家向三个代理商发发送四种送四种送四种送四种产产品品品品. . A =A =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 16 16 20 16 16 B =B =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 例例例例
10、5. 5. 四个城市四个城市四个城市四个城市间间的的的的单单向航向航向航向航线线如下如下如下如下图图. . 假假假假设设aijaij表示从表示从表示从表示从i i市直达市直达市直达市直达j j市航市航市航市航线线的条数的条数的条数的条数, , 那么右那么右那么右那么右图图可用矩可用矩可用矩可用矩阵阵表示表示表示表示为为1 14 42 23 3A = (aij) =A = (aij) =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0假假假假设设bijbij表示从表示从表示从表示从i i市市市市经经另外一个城市到另外一个城市到另外一
11、个城市到另外一个城市到j j市航市航市航市航线线的条数的条数的条数的条数, , 那么由右那么由右那么由右那么由右图图可得矩可得矩可得矩可得矩阵阵B = (bij) =B = (bij) =2 1 1 02 1 1 00 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 2 1 10 2 1 11 12 23 34 4i ij j其中其中其中其中bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列
12、式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 1. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 那么那么A与与B的乘的乘积是是 一个一个mn矩矩阵C = (cij)mn , 其中其中cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj = aikbkj. k=1k=1s s记为C = AB. 称称AB为“以以A左乘左乘B 或或 “以以B 右乘右乘A.a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31 a
13、21b12+a22b22+a23b32a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32= =a11 a12 a13a11 a12 a13a21 a22 a23a21 a22 a23b11 b12 b11 b12 b21 b22b21 b22b31 b32b31 b32如如如如 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 2. 矩矩阵乘乘积的特殊性的特殊性 (1)只需当矩只需当矩阵A的列数等于矩的列数等于矩阵B的行数的行数时, 乘乘积AB才有意才有意义. (
14、2)假假设A是一个是一个mn矩矩阵, 与与B是一个是一个nm矩矩阵, 那么那么AB和和BA都有意都有意义. 但但AB是一个是一个m阶方方 阵, BA是一个是一个n阶方方阵. 当当m n时, AB 与与 BA谈不上相等不相等不上相等不相等. 即使即使m = n, AB与与BA是同是同阶方方阵也未必相也未必相. 例如例如:第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 1 1 22 2 4 1 21 0 0 1 1 1 22 2 4 1 21 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2
15、2 4 = 1 12 2 1 21 2=0 00 0 1 12 2 1 21 2= 3 3 3 3第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 定理定理2.2 设k是数是数, 矩矩阵A, B, C 使以下各式中使以下各式中 一端有意一端有意义, 那么另一端也有意那么另一端也有意义并且并且 等式成立等式成立(1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC,(3) (kA)B = k(AB).对于于(1)的的证明明, 我我们先来看一个
16、先来看一个详细的例子的例子: a11 a12 a13a21 a22 a23如如A= ,b11 b12 b21 b22b31 b32B = ,c11 c12 c21 c22C =.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32AB =BC =b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c
17、12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22a11 a12 a13a21 a22 a23A= ,b11 b12 b21 b22b31 b32B = ,c11 c12 c21 c22C =.我我们比比较(AB)C和和A(BC)的的“规格以及它格以及它们的的 第一行第一列第一行第一列处的元素的元素.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 普通地普通地, 设A = aijmk, B = bijks, C = cijsn, AB = U = uijms, BC =
18、 V = vijkn, 那么那么(AB)C = UC与与A(BC) = AV 都是都是mn矩矩阵, 且且(AB)C = UC的的(i, j)元素是元素是 它恰好是它恰好是A(BC) = AV的的(i, j)元素元素. 可可见(AB)C = A(BC). uiqcqj q=1q=1s s= ( aipbpq )cqj q=1q=1s sp=1p=1k k= ( aipbpq cqj) q=1q=1s sp=1p=1k k= ( aipbpqcqj) q=1q=1s sp=1p=1k k= aip ( bpq cqj) q=1q=1s sp=1p=1k k= aipvpj p=1p=1k k第二章
19、第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 结合律的妙用之一合律的妙用之一 设A = BC, 其中其中B = , C = 1 2 3, 1231 2 3 2 4 6 , 3 6 9那么那么A = 我我们可以定可以定义A的正整数的正整数幂 ( (还还有有有有“ “妙用之二喔妙用之二喔妙用之二喔妙用之二喔!) !) A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = AkA, 对于于这里的里的A, A2005 = ?当然当然, 对于恣意方于恣意方阵A, 都可以像上面都可以像上面这样去去 定定义A的正
20、整数的正整数幂. 而且有如下而且有如下结论第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使但即使A与与B是同是同阶方方阵, 也未必成立也未必成立! 注注: 不能不能说 “由于由于AB = BA未必成立未必成立, 所以所以(AB)k = AkBk 未必成立未必成立. 例如例如A = 0 10 0, B = 1 00 0, AB = 0 00 0,BA =0 10 0, AB BA, 但但(AB)k = AkBk成立
21、成立. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 (AB)k = AkBk 要要阐明即使明即使A与与B是同是同阶方方阵, 也未必成立也未必成立, 只需只需举出一个反例即可出一个反例即可. 例如例如A =1 10 0, B =1 01 0, AB =2 00 0,A2 =1 10 0= A,当然当然这里里AB BA B2 =1 01 0=B,(AB)2 =4 00 0, A2B2 = AB =2 00 0,=1 11 1.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和
22、行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 补充充. . 数学数学归纳法法 1. 第一数学第一数学归纳法原理法原理: 设P P是一个关于自然数是一个关于自然数n n的命的命题, , 假假设 P P对于于n = n0n = n0成立成立. . 当当n nn0n0时, , 由由“n = k“n = k时P P成立可推出成立可推出 “n = k+1 “n = k+1时P P成立成立, ,那么那么P P对于恣意的自然数于恣意的自然数n nn0n0成立成立. .第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩
23、矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 2. 第二数学第二数学归纳法原理法原理: 设P为一个关于自然数一个关于自然数n的命的命题, 假假设 P对于于n = n0成立成立, 由由“n0 n k时P成立可推出成立可推出 “n = k+1时P成立成立,那么那么P对于恣意的自然数于恣意的自然数nn0成立成立.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 例例6. 设A = cos sin sin cos, . 求求证An = cosn sinn sinn cosn证明明: 当当n = 1时, 结
24、论显然成立然成立. 假假设结论对于于n = k成立成立, 即即 .cosk sink sink coskAk =cos sin sin cos那么那么Ak+1 = AkA cosk sink sink cosk=第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 cos sin sin cosAk+1 = AkAcosk sink sink cosk=因此因此对于恣意正整数于恣意正整数n, coskcosk cos cos sinksink sin sin coskcosk sin sin sin
25、ksink cos cos sinksink cos cos +cosk +cosk sin sin sinksink sin sin +cosk +cosk cos cos=cos(k+1) sin(k+1) sin(k+1) cos(k+1)=cosn sinn sinn cosnAn = 成立成立. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 四四. . 矩矩阵的的转置置 1. 设矩矩阵A = a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn, AT = a11
26、a21 am1a12 a22 am2 a1n a2n amn为A的的转置置. 那么称矩那么称矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 定理定理2.3 矩矩阵的的转置运算置运算满足如下性足如下性质 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.五五. 几种特殊的矩几种特殊的矩阵 1. 对称矩称矩阵 假假设矩矩阵A满足足AT = A, 那么称那么称A为对称矩称矩阵. 矩矩阵A = aijmn
27、为对称矩称矩阵的充分必要的充分必要条件是条件是: m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, , n). 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 2. 对角矩角矩阵 方方阵A = aijnn的的a11, a22, , ann称称为对角角线 元素元素. 假假设方方阵A = aijnn除了除了对角角线元素元素(能能够不是不是 0)以外以外, 其它元素都是其它元素都是0, 那么称那么称A为对角矩角矩阵.对角角线元素依次元素依次为 1, 2, , n的的对角矩角矩阵 有有时也
28、也记为 = diag 1, 2, , n, 即即 = diag 1, 2, , n = 1 0 0 0 2 0 0 0 n.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 3. 数量矩数量矩阵 假假设对角矩角矩阵A = aijnn的的对角角线元素元素为同一同一 个数个数, 那么称那么称A为数量矩数量矩阵(纯量矩量矩阵).可以可以证明方明方阵A = aijnn为数量矩数量矩阵的充分的充分 必要条件是必要条件是对于恣意于恣意n阶矩矩阵B, AB = BA.4. 单位矩位矩阵 称称为n阶单位矩位矩阵
29、. In =1 0 00 1 0 0 0 1 n n第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 注注: 对于于n阶方方阵A 可以可以证明以下条件等价明以下条件等价: (i) A为单位矩位矩阵; (ii) 对于恣意于恣意nm矩矩阵B, AB = B. (iii)对于恣意于恣意mn矩矩阵C, CA = C.有有时我我们也把也把n阶单位矩位矩阵In简记为I. 有的有的书上用上用En表示表示n阶单位矩位矩阵, 简记 为E.利用克利用克罗内克内克(Kronecker)记号号 ij =1, i = j
30、 0, i jn阶单位矩位矩阵In也可以表示也可以表示为ijnn. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵及其运算及其运算及其运算及其运算 六六. 方方阵的多的多项式式 设A为一个方一个方阵, f(x)为一个多一个多项式式 称之称之为方方阵A的一个多的一个多项式式. f(x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0 规定定 f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0I 5. 反反对称矩称矩阵 假假设矩矩阵A满足足AT = A, 那么称那么称A为反反对称矩称矩阵. 可以可以证明
31、任何一个方明任何一个方阵都可以写成一个都可以写成一个对 称矩称矩阵与一个反与一个反对称矩称矩阵的和的和.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 2.2 方方阵的行列式的行列式 一一. 二元二元线性方程性方程组与二与二阶行列式行列式 (a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21 当当a11a22 a12a21 0时,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b
32、2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2 b1a21.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 a11 a12 a21 a22记D =,b1 a12 b2 a22D1 =,a11 b1a21 b2D2 =,那么当那么当D = a11a22 a12a21 0时,=D1D=D2D.2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22a12a21有独一确定的解有独一确定的解x2=a11a22a12a21a
33、11b2 b1a21问题: 能用能用对角角线法那么定法那么定义四四阶行列式行列式吗? 用用对角角线法那么定法那么定义的的“四四阶行列式有行列式有 用用吗?第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 1 1 0 01 1 0 01 2 0 01 2 0 00 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 20 0 1 2仿照三仿照三阶行列式的行列式的对角角线法那么可得法那么可得 = 1= 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ( 1)1) 1 1 = 4+1 = 5.= 4+1 = 5.
34、3 1 0 03 1 0 05 2 0 05 2 0 00 0 1 0 0 1 1 1 3 0 1 23 0 1 2= 3= 3 2 2 1 1 2 2 1 1 5 5 ( ( 1)1) 1 1 = 12+5 = 17.= 12+5 = 17.但方程但方程组 x1 + x2 = 3x1 + x2 = 3x1 + 2x2 = 5x1 + 2x2 = 5 x3 x3 x4 = 0 x4 = 0 x3 + 2x4 = 3 x3 + 2x4 = 3有独一解有独一解 x1 = 1x1 = 1x2 = 2x2 = 2x3 = 1x3 = 1x4 = 1x4 = 1 17175 5第二章第二章第二章第二章
35、矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 二二. 陈列的逆序数与奇偶性列的逆序数与奇偶性 1. 全全陈列列 2. 把把n个不同的元素排成一列全个不同的元素排成一列全陈列列, 叫做叫做 3. 这n个元素的全个元素的全陈列列(简称称陈列列). n个不同元素的一切个不同元素的一切陈列的种数通常用列的种数通常用 Pn表示表示.例如例如, 用用1,2,3三个数字可以三个数字可以组成如下成如下6个个 没有反复的三位数没有反复的三位数: 123, 132, 213, 231, 312, 321普通地普通地, Pn = n! =
36、 n(n1)21.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 2. 逆序数逆序数 对于于n个不同的元素个不同的元素, 先先规定各元素之定各元素之间的的 一个一个规范次序范次序 (如如 n个不同的自然数个不同的自然数, 可可规定由小到大的次序定由小到大的次序为规范次序范次序), 一个一个陈列中一切逆序的列中一切逆序的总数叫做数叫做这个个陈列列 的逆序数的逆序数. 逆序数逆序数为奇奇(偶偶)数的数的陈列称列称为奇奇(偶偶)陈列列. 于是在于是在这n个元素的恣意一个个元素的恣意一个陈列中列中,
37、当某当某 两个元素的先后次序与两个元素的先后次序与规范次序不同范次序不同时, 就就说有一个逆序有一个逆序. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 例例1. 求以下求以下陈列的逆序数列的逆序数 (1) 32514, (2) (2n)(2n 2)4213(2n 3)(2n 1). 3. 对换 在在陈列中列中, 将恣意两个元素将恣意两个元素对调, 其他的元其他的元素不素不动, 称称为对换. 将相将相邻的两个元素的两个元素对调, 称称为邻对换.注注: 任一任一邻对换都改都改动陈列的奇偶性列的
38、奇偶性. 任一任一对换都可都可经过奇数次奇数次邻对换来来实现. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式 定理定理2.4. 每一个每一个对换都改都改动陈列的奇偶性列的奇偶性. 1 2 3 4 5 6 7 89 1 2 3 4 5 6 7推推论. n2时, n个元素的一切个元素的一切陈列中列中, 奇、偶奇、偶 陈列各占一半列各占一半, 即各有即各有n!/2个个. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行
39、列式的行列式的行列式 三三. n阶行列式的定行列式的定义 1. 三三阶行列式的特点行列式的特点 每一每一项都是三个元素的乘都是三个元素的乘积. a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 每一每一项的三个元素都位于不同的行和列的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的行列式的6项恰好恰好对应于于1, 2, 3的的6种种陈列列. 各各项系数与系数与对应的列目的的的列目的的陈列的奇偶性列的奇偶性 有关有关.第二章第二章
40、第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33j1 j2 j3的逆序数的逆序数 对一切不同的三级陈列对一切不同的三级陈列 j1 j2 j3求和求和 a11 a12a21 a22 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2. n阶行列式的定义阶行列式的定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann注注: 当当n = 1时, 一一阶行列式行列式|a11| = a11
41、, 这与与绝 对值符号的意符号的意义是不一是不一样的的.设A = aij为n阶方方阵, A的行列式的行列式记为|A|, 或或detA. 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 3. 几个特殊的行列式几个特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .(1) 对角行列式角行列式 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列
42、式 (2) 上上(下下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann= a11 a22ann .= a11 a22ann .现实上上, 只需只需pi i (i = 1,2,n)时, 才有能才有能够不不为0. 假假设有某个有某个pk k, 那么必然有假那么必然有假设有某个有某个pl 1+2+n, 矛盾矛盾! 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 例例2. 设A = aijnn, 证明明f(
43、) = | IA|是是 的的n次次 多多项式式, 并求并求 n, n1的系数及常数的系数及常数项.a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 annf( ) = | IA| =d1 = (a11)(a22)(ann) f(0) = |A| = (1)n|A|. A的迹的迹, 记为记为trA 2.2 2.2 方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 4. n阶行列式的另外一种定义阶行列式的另外一种定义 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann2.2 2.2
44、方方方方阵阵的行列式的行列式的行列式的行列式第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 2.3 行列式的性行列式的性质及及计算算 一一. 行列式的性行列式的性质 性性质1. DT = D. 记D =行列式行列式DT称称为D的的转置置. 记bij = aji, 那么那么 DTa11 a12 a1n a11 a12 a1n a21 a22 a2na21 a22 a2n an1 an2 annan1 an2 anna11 a21 an1 a11 a21 an1 a12 a22
45、 an2a12 a22 an2 a1n a2n anna1n a2n ann, DT =第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 性性质2. 2. 互互换行列式中的两行行列式中的两行( (列列), ), 行列式行列式变号号. . 证证明明明明: : 记记互互互互换换行列式行列式行列式行列式D D中的第中的第中的第中的第k, lk, l行得到的行列式行得到的行列式行得到的行列式行得到的行列式为为D1. D1. = D. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式
46、运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 注注: 互互换第第k, l行行记为rkrl, 互互换第第k, l列列记为ckcl.推推论. 假假设行列式行列式D中有两行中有两行(列列)完全一完全一样, 那么那么D = 0.性性质3. 3. 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )的公因子可以的公因子可以 提到行列式提到行列式记号外号外. . 现实上上, 假假设行列式行列式D中有两行完全一中有两行完全一样, 交交换 这两行两行, 得得D = D. 因此因此D = 0. 对于有两列完全一于有两列完全一样的情形的情形, 可可
47、类似地似地证明明. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 a11 a12 a1n ka21 ka22 ka2n an1 an2 ann例如例如 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=k.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 性性质4. 4. 假假设行列式行列式D D中有两行中有两行( (列列) )元素
48、成比例元素成比例, , 那么那么D = 0.D = 0. a11 a12 a1n ka11 ka12 ka1n an1 an2 ann例如例如 a11 a12 a1n a11 a12 a1n an1 an2 ann=k= 0.性性质5. 5. 行列式可按某一行行列式可按某一行( (列列) )拆成两个行列式拆成两个行列式 之和之和. . 如如 |A1, , As+Bs, , An| |A1, , As+Bs, , An| = |A1, , As, , An| + |A1, , Bs, , An|. = |A1, , As, , An| + |A1, , Bs, , An|.第二章第二章第二章第二
49、章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 例例1. a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 0 0 a33 0 0 a33 0 0a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44+ +a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a34a34a41 a42 a43
50、 a41 a42 a43 a44a44D =D =a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 0 a32 0 0 0 a32 0 0a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44+ +a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 a31 0 0 0a31 0 0 0a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44= =a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23
51、a21 a22 a23 a24 a24 0 0 0 0 0 0 a34a34a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44+ +a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 a31 0 0 0a31 0 0 0a41 a42 a43 a41 a42 a43 a44a44= =a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 0 a32 a33 0 a32 a33 a34a34a41 a42 a43 a41 a42 a43
52、a44a44+ +第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 性性质6. 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)元素乘以同一元素乘以同一 个数个数, 再加到另一行再加到另一行(列列)对应的元素上的元素上 去去, 行列式的行列式的值不不变.a11 (a1i + ka1j) a1j a1n a11 (a1i + ka1j) a1j a1n a21 (a2i + ka2j) a2j a2na21 (a2i + ka2j) a2j a2n an1 (ani + kanj) a
53、nj annan1 (ani + kanj) anj ann= =+ +a11 a1i a1j a1n a11 a1i a1j a1n a21 a2i a2j a2na21 a2i a2j a2n an1 ani anj annan1 ani anj anna11 ka1j a1j a1n a11 ka1j a1j a1n a21 ka2j a2j a2na21 ka2j a2j a2n an1 kanj anj annan1 kanj anj ann第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性
54、质质及及及及计计算算算算 注注: 用常数用常数k乘行列式乘行列式D中的第中的第j行行(列列)再加到第再加到第 i行行(列列)上上, 记为ri+krj (ci+kcj).例例2. 1 2 1 2 4 4 (1) (1) 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 2 2 1 2 1 2 4 4 = 0 6 = 0 6 7 7 3 4 3 4 2 2 3 3 1 2 1 2 4 4 = 0 6 = 0 6 7 7 0 10 0 10 1414 1 2 1 2 4 4 = 2 0 6 = 2 0 6 7 7 0 5 0 5 7 7 1 1 4 24 2= = 2 0 2 0 7 67 6 0 0
55、 7 57 5 ( ( 1) 1) 1 1 4 24 2= = 2 0 2 0 7 67 6 0 0 0 0 1 1= = 14.14. ( ( ) )5 53 3第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 ( ( 3) 3) 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 5 3 5 3 3 3 (2)(2)= = 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 5
56、 5 5 0 0 5 0 0 = = 5 5 3 1 3 1 1 2 1 2 5 1 3 5 1 3 4 4 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 = 5 = 5 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 5 3 5 3 4 4 0 2 1 0 2 1 1 11 1 0 0 1 1 0 0 = 5 = 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 11 1 5 3 5 3 4 4 1 3 1 3 1 2 1 2 ( ( 1) 1)= 5 = 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 10 0 6 3 6 3 4 4 0 2 0 2
57、 1 2 1 2 2 2第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 = 5 = 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 3 0 0 3 4 4 0 0 0 0 1 21 2 3 3= 5 = 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 21 2= = 5 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 4 1 0 4 1 1 10 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0
58、20 0 0 2= 40.= 40.= 5 = 5 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 10 0 6 3 6 3 4 4 0 2 0 2 1 2 1 2 2 2第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3 (3)(3)6 6 6 6 6 6 6 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1
59、 1 1 3 = =1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 11 1 3 11 1 1 3 1 1 1 3 = 6= 6 ( ( 1)1)1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 a b c d a b c d a a+b a+b+c a+b+c+da a+b a+b+c a+b+c+da 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+da 2a+b 3a+
60、2b+c 4a+3b+2c+da 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+da 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d(4)(4)a b c d a b c d 0 a a+b a+b+c0 a a+b a+b+c0 a 2a+b 3a+2b+c0 a 2a+b 3a+2b+c0 a 3a+b 6a+3b+c0 a 3a+b 6a+3b+c= = ( ( 1)1) ( ( 1)1) ( ( 1)1)a b c d a b c d 0 a a+b a+b+c0 a a+b a+b+c0 0 a 2a+b0 0 a 2a+b0 0 a 3a+b0 0 a 3a+b= = ( ( 1
61、)1)= a4.= a4.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 注注: 有些有些书上将上述上将上述转化化过程用程用 rkrj, ckcj, ri+krj , ci+kcj 等等记号表示号表示, 并写在等号的上方或下方并写在等号的上方或下方. 但但这样不不够直直观. 为了不引起混淆了不引起混淆, 每步最好只每步最好只进展一个展一个 操作操作. 例如例如:a ba bc dc da+c b+d a+c b+d c d c da+c b+d a+c b+d a a b
62、br1+r2r1+r2a ba bc dc d a b a bc ca da db b c d c dc ca da db br1+r2r1+r2r2r2r1r1r2r2r1r1第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 例例3. 设D = a11 a1m a11 a1m am1 amm am1 amm D1 =D1 =, ,证明明: D = D1D2.证明明: 对D1施行施行ri+krj 这类运算运算, 把把D1化化为下三下三 角形行列式角形行列式:= =p11 p1
63、1 pm1 pm1 pmm pmm . . . .= p11 pmm ,= p11 pmm ,b11 b1n b11 b1n bn1 bnnbn1 bnnD2 =D2 =, ,a11 a1m 0 0 a11 a1m 0 0 , ,am1 amm 0 0 am1 amm 0 0 c11 c1m b11 b1n c11 c1m b11 b1n cn1 cnm bn1 bnn cn1 cnm bn1 bnn a11 a1m a11 a1m am1 amm am1 amm D1 =D1 =运用运用运用运用 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3
64、2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 对对D2D2施行施行施行施行ci+kcj ci+kcj 这类这类运算运算运算运算, , 把把把把D2D2化化化化为为下三角形行列式下三角形行列式下三角形行列式下三角形行列式: : b11 b11 b1nb1nbn1 bn1 bnnbnnD2 =D2 = =q11 q11 qn1 qn1 qnn qnn . . . .= q11 qnn ,= q11 qnn ,于是于是于是于是对对D D的前的前的前的前mm行施行上述行施行上述行施行上述行施行上述ri+krj ri+krj 运算运算运算运算, , 再再再再对对D D的后的后
65、的后的后n n列列列列 施行上述施行施行上述施行施行上述施行施行上述施行ci+kcj ci+kcj 运算运算运算运算, , 可得可得可得可得: :. .p11 p11 pm1 pmm pm1 pmm c11 c1k q11 c11 c1k q11 cn1 cnk qn1 cn1 cnk qn1 qnnqnn = =. . . . . .0= p11 pmm q11 qnn =D1D2.= p11 pmm q11 qnn =D1D2.a11 a1m 0 0 a11 a1m 0 0 D =D =am1 amm 0 0 am1 amm 0 0 c11 c1m b11 b1n c11 c1m b11
66、b1n cn1 cnm bn1 bnn cn1 cnm bn1 bnn 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 性性质7. 方方阵乘乘积的行列式等于方的行列式等于方阵行列式的行列式的 乘乘积, 即即对于同于同阶方方阵A, B, 有如下乘有如下乘 法公式法公式 |AB| = |A|B|.二二. . 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 a11 a12 a21 a22a11+0 0+a12 a21 a22=a11 0 a21 a22= 0 a12 a21 a22
67、+= a11a22 a12a21 = a11(1)1+1a22 +a12(1)1+2a21 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21+0 0+a22=a11 a12a21 0=a11 a12 0 a22+= a21a12+a11a22= a21(1)2+1a12 +a22(1)2+2a11 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31
68、 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 a33 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 0 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 0 a33 +第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 0 0 =a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 0 +a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 0 a33 +a31 0 0 a11 a12 a
69、13 a21 a22 a23 = ( 1)20 a32 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23+ ( 1)20 0 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23+ ( 1)2a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = ( 1)2a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23+( 1)2+1a33 0 0a13 a11 a12 a23 a21 a22+( 1)2+22.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 a
70、12 a13 a12 a13 a22 a23 a22 a23 =a31(=a31( 1)21)2a11 a13 a11 a13 a21 a23a21 a23+a32(+a32( 1)2+11)2+1a11 a12 a11 a12 a21 a22a21 a22+a33(+a33( 1)2+21)2+2a12 a13 a12 a13 a22 a23 a22 a23 =a31(=a31( 1)3+11)3+1a11 a13 a11 a13 a21 a23a21 a23+a32(+a32( 1)3+21)3+2a11 a12 a11 a12 a21 a22a21 a22+a33(+a33( 1)3+3
71、1)3+3a31 0 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = ( 1)2a32 0 0 a12 a11 a13 a22 a21 a23+( 1)2+1a33 0 0a13 a11 a12 a23 a21 a22+( 1)2+2运用本运用本节的例的例3 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a12 a13 a22 a23 = a31( 1)3+1a11 a13 a21 a23+a3
72、2( 1)3+2a11 a12 a21 a22+a33( 1)3+3a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33拆拆, 移移, 降降 余子式余子式余子式余子式 代代代代数数数数余余余余子子子子式式式式按第三行展开按第三行展开按第三行展开按第三行展开 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 普通地普通地,
73、 在在n阶行列式中行列式中, 把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去, 留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素行列式叫做元素aij的余子式的余子式, 记作作Mij, 令令Aij = (1)i+jMij, 并称之并称之为aij的代数余子式的代数余子式. 例如例如, 四四阶阶行列式行列式中中中中a32a32的余子式的余子式的余子式的余子式为为 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a14 a14 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a24 a24 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a34a34a41 a42 a43 a41 a42 a43
74、 a44a44a11 a13 a11 a13 a14 a14 a21 a23 a21 a23 a24 a24 a41 a43 a41 a43 a44a44M32=M32=, ,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A32 = (A32 = (1)3+2M32 = 1)3+2M32 = M32. M32. 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 定理定理2.5. n阶行列式行列式D等于它的恣意一行等于它的恣意一行 (列列) 的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘
75、的代数余子式乘积 之和之和. 即即 D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2nA2n + + annAnn . 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 例例4. 计算算D2n = .
76、2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 D2n = adD2(n 1) bcD2(n 1) .依次依次类推可得推可得D2n = (ad bc)n.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 例例例例5. 5. 证证明明明明n n阶级阶级(n(n 2)2)范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式行列式行列式 Dn =Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana1
77、2 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1a1n-1 a2n-1 an n-1= = (ai (ai aj). aj).n n i j i j 1 1Dn =Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana12 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a2n-1 an n-1a1n-1 a2n-1 an n-1证证明明明明: :当当当当n =2n =2时时, D2 = (a2, D2 = (a2 a1). a1). 现设现设等式等式等式等式对对于于于于(n(n 1)1)阶阶范德蒙行列式成立范德蒙行列式成立范德蒙行列式成立范德蒙行列
78、式成立, , 那么那么那么那么 ( ( a1) a1) ( ( a1) a1) ( ( a1) a1)第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 =1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an2 (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) Dn = 1 1 1 1 1 1a1 a2 ana1 a2 ana12 a22 an2a12 a22 an2 a1n-1 a
79、2n-1 an n-1a1n-1 a2n-1 an n-1 ( ( a1) a1) ( ( a1) a1) ( ( a1) a1)第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) 1 1 1a2 a3 an a2n-2 a3n-2 an n-2=1 1 1 10 a2 a1 a3 a1 an a10 a2(a2 a1) a3(a3 a1) an2 (an a1) 0 a2n-2(a2 a1) a3n-2(a3 a1) ann-2(an a1) = (a2 a1)(a3 a1)(an a1) (ai aj)n
80、n i j i j 2 2= (ai aj).n n i j i j 1 12.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 前面我前面我们得到得到,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33= a31A31 + a32A32 + a33A33. 下面来看下面来看a11A31 + a12A32 + a13A33 = ?a11A31 + a12A32 + a13A33
81、=a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13= 0.推行到普通情形推行到普通情形, 我我们有如下有如下结论: 由定理由定理2.5容易看出容易看出 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.3 2.3 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质及及及及计计算算算算 命命命命题题2.1. n2.1. n阶阶行列式的某一行行列式的某一行行列式的某一行行列式的某一行( (列列列列) )元素与另一行元素与另一行元素与另一行元素与另一行( (列列列列) ) 的的的的对应对应的代数余子式乘的代数余子式乘的代数余子式乘的代数余子式
82、乘积积之和之和之和之和为为零零零零. . 即即即即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i j). j).定理定理2.6.设n阶行列式行列式D = |aij|, 那么那么 aikAjk = D ij , k=1k=1n n akiAkj = D ij . k=1k=1n n 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和
83、行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 2.4 逆矩逆矩阵 一一. 可逆矩可逆矩阵 1. 定定义: 设A为方方阵, 假假设存在方存在方阵B, 使得使得 AB=BA=I. 那么称那么称A可逆可逆, 并称并称B为A的逆矩的逆矩阵. 2. 逆矩逆矩阵的独一性的独一性现实上上, 假假设AB=BA=I, AC=CA=I,那么那么B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.今后我今后我们把可逆矩把可逆矩阵A的逆矩的逆矩阵记为A1. 命命题2.2. 设方方阵A可逆可逆, 那么其逆矩那么其逆矩阵是独一的是独一的. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行
84、列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 3. 设A = aijnn为方方阵, 元素元素aij的代数余子式的代数余子式 为Aij, 那么称如下矩那么称如下矩阵A* =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann为方方阵A的伴随矩的伴随矩阵. 命命题2.3. 设A为方方阵, A*为其伴随矩其伴随矩阵. 那么那么AA* = A*A = |A|I.由定理由定理2.6可得可得 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 现实上上, 由由AB=BA=I得得 1 = |I| = |AB|
85、 = |A|B|. 命命题2.4. 设A为方方阵, 假假设A可逆可逆, 那么那么|A| 0. 4. 逆矩阵的存在性逆矩阵的存在性 定理定理2.7.方方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A| 0. 当当|A| 0时, 有有 A1 =|A|1A*.注注注注. . 设设A A为为方方方方阵阵, ,假假假假设设|A| = 0, |A| = 0, 那么称之那么称之那么称之那么称之为为奇特奇特奇特奇特( (或退化或退化或退化或退化) )矩矩矩矩阵阵. . 假假假假设设|A| |A| 0, 0, 那么称之那么称之那么称之那么称之为为非奇特非奇特非奇特非奇特( (或非退化或非退化或非退化或非退化)
86、 )矩矩矩矩阵阵. . 可可可可见见, A, A可逆可逆可逆可逆 |A| |A| 0 0 A A非奇特非奇特非奇特非奇特( (非退化非退化非退化非退化). ).第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 推推论. 设A, B为方方阵, 假假设AB = I(或或BA = I), 那么那么B = A1.= (BA)A1 = IA1 = A1. 现实上上, AB = I |A| 0 A可逆可逆 B = IB = (A 1A)B = A1(AB) = A1I = A1. BA = I |A| 0 B = BI = B(A
87、A 1) A可逆可逆 例例6. 设方方阵A满足足A32A2+3AI = 0. 证明明: A及及A 2I可逆可逆, 并求它并求它们的逆矩的逆矩阵.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 例例7. 求以下方求以下方阵的逆矩的逆矩阵.(1) A =(1) A =1 21 23 4 3 4 , ,1 2 31 2 32 2 12 2 13 4 33 4 3(2) B =(2) B =. .解解解解: (1): (1) A A1 =1 =|A|A|1 1A*A*= = 2 21 1 4 4 2 2 3 13 1. .(
88、2) |B| = 2 0, B1 =|B|1B*B11 = (1)1+12 14 3= 2, B21 =6, B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. =21 2 6 4 3 6 5 2 2 2. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 求矩求矩求矩求矩阵阵X X使使使使AXB = C.AXB = C.1 2 31 2 32 2 12 2 13 4 33 4 3B =B =, ,例例例例8. 8. 设设 A =A =1 21
89、23 4 3 4 , ,1 2 31 2 33 0 13 0 1C =C =, ,解解解解: : 由例由例由例由例7 7可知可知可知可知A, BA, B都可逆都可逆都可逆都可逆. . 故故故故AXB = C AXB = C A A1AXB = A1AXB = A1C 1C XB = A XB = A1C 1C XBB XBB1 = A1 = A1CB1CB1 1 X = A X = A1CB1CB1 .1 .因此因此因此因此X = X = 2 21 1 4 4 2 2 3 13 11 2 31 2 33 0 13 0 12 21 1 2 6 2 6 4 4 3 3 6 56 5 2 2 2 2
90、 2 2 4 20 4 20 1414 1 1 10 710 7= =. .1 12 2第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 二二. 逆矩逆矩阵的运算性的运算性质 定理定理2.8.设A, B为同同阶可逆方可逆方阵, 数数k 0. 那么那么 (1) (A1)1 = A, |A1| = |A|1. (2) (AT)1 = (A1)T. (3) (kA)1 = k1A1. (4) (AB)1 = B1A1. 例例9. 设A与与IA都可逆都可逆, G = (IA)1I, 求求证G也也 可逆可逆, 并求并求G1.证明
91、明: G = (IA)1 (IA)1(IA) = (I A) 1(I (I A) = (I A) 1A G1 = A1(IA) = A1 I. 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 可以表示可以表示为Ax = b.那么那么线性方程性方程组 x1x1x2x2xnxn1. 记x = , ,b1b1b2b2bmbmb = b = , , A = A = a11 a12 a1na11 a12 a1na21 a22 a2na21 a22 a2n am1 am2 amnam1 am2 amn, ,三三. 克拉默法那么克
92、拉默法那么 下面下面讨论A为n阶方方阵的情形的情形.第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 对于于n元元线性方程性方程组记记D = D = a11 a12 a1n a11 a12 a1n a21 a22 a2na21 a22 a2n an1 an2 annan1 an2 ann, D1 =, D1 =b1 a12 a1n b1 a12 a1n b2 a22 a2nb2 a22 a2n bn an2 annbn an2 ann, ,D2 =D2 =a11 b1 a1n a11 b1 a1n a21 b2 a2n
93、a21 b2 a2n an1 bn annan1 bn ann, , Dn =, , Dn =. .a11 a12 b1a11 a12 b1a21 a22 b2a21 a22 b2 an1 an2 bnan1 an2 bn第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 调查调查 bi ai1 ai2 ain bi ai1 ai2 ain b1 a11 a12 a1n b1 a11 a12 a1n b2 a21 a22 a2nb2 a21 a22 a2n bn an1 an2 annbn an1 an2 ann, ,
94、按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得按第一行展开得 bi D bi D ai1D1 ai1D1 ai2D2 ai2D2 ainDn = 0 (i = 1, 2, , n). ainDn = 0 (i = 1, 2, , n). 当当当当D D 0 0时时, , 移移移移项项整理可得整理可得整理可得整理可得ai1 + ai2 + + ain = bi (i = 1, 2, , n).ai1 + ai2 + + ain = bi (i = 1, 2, , n).D1 D2 DnD1 D2 DnD D DD D D这这就是就是就是就是说说x1 =x1 =D1D1D D, ,x2 =x2 =D2
95、D2D D, , , , xn =xn =DnDnD D是是是是( ( ) )的解的解的解的解. . 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 又由于又由于D 0时, A可逆可逆, 因此由因此由Ax = b可得可得 x =A1b, 即即D 0时, Ax = b有独一的解有独一的解. 于是可得于是可得 定理定理2.9(Cramer法那么法那么). 假假设系数行列式系数行列式D=|A|0, x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD, 其中其中 Dj 是用是用b交交换D的第的第j列所得的行列所得的行 列式
96、列式( j = 1, 2, , n). 那么那么线性方程性方程组Ax = b有独一的解有独一的解 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.4 2.4 逆矩逆矩逆矩逆矩阵阵 假假设线性方程性方程组Ax = b中中b= , 那么称之那么称之为齐次次线性方程性方程组, 否那么称之否那么称之为非非齐次次线性方程性方程组.对于于Ax = 来来说, 它必然有一它必然有一组零解零解 x1 = x2 = = xn = 0,假假设有一有一组不全不全为零的数构成零的数构成Ax = 的解的解,那么称之那么称之为Ax = 的非零解的非零解.定理定理5. 假假设齐次次
97、线性方程性方程组Ax = 的系数行列的系数行列 式式D = |A| 0, 那么它只需零解那么它只需零解. 2. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组与非齐次线性方程组 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 一一. 分分块矩矩阵的运算的运算规那么那么 1.分分块加法加法 A = A = A11 A12 A1rA11 A12 A1rA21 A22 A2rA21 A22 A2r As1 As2 AsrAs1 As2 Asr, ,B = B = B11 B12 B1rB11 B
98、12 B1rB21 B22 B2rB21 B22 B2r Bs1 Bs2 BsrBs1 Bs2 Bsr, ,其中其中Aij与与Bij是同型的是同型的“小矩小矩阵. 2.5 矩矩阵的分的分块运算运算 那么那么A+B可看成是分可看成是分块矩矩阵的和的和 设矩矩阵A与与B是同型的是同型的, 采用一采用一样的分的分块 法分法分块将将A与与B分分块如下如下第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 A11+B11 A12+B12 A1r +B1r A11+B11 A12+B12 A1r +B1r
99、 A21+B21 A22+B22 A2r +B2r A21+B21 A22+B22 A2r +B2r As1+Bs1 As2+Bs2 Asr +Bsr As1+Bs1 As2+Bs2 Asr +Bsr . .A + B = A + B = 设设矩矩矩矩阵阵A = A = A11 A12 A1rA11 A12 A1rA21 A22 A2rA21 A22 A2r As1 As2 AsrAs1 As2 Asr, , 为为常数常数常数常数. . A11 A11 A12 A12 A1r A1r A21 A21 A22 A22 A2r A2r As1 As1 As2 As2 AsrAsr. .那么那么那么
100、那么 A = A = 2. 分分块数乘数乘第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 3. 分分块乘法乘法 设A为ml矩矩阵, B为l n矩矩阵, 将它将它们分分块如下如下 A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast, B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,其中其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分的列数分别与与B1j, B2j, , Btj的的 行数相等行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1,
101、2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中其中Cij = AikBkj ,那么那么AB = k=1t第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 11 2 0 1 1 0 4 1 1 0 4 1 1 1 1 2 01 2 0B = B = , ,求求求求AB.AB. 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 01 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1例例
102、例例10. 10. 设设A = A = , ,解解解解: :A = A = , , I O I OA1 IA1 IB = B = , ,B11 IB11 IB21 B22B21 B22其中其中其中其中I = I = , ,1 01 00 10 1 1 21 2 1 1 1 1A1= A1= , , 1 0 1 0 1 21 2B11= B11= , , 1 0 1 0 1 1 1 1B21=B21=, ,4 14 12 02 0B22=B22=. .于是于是于是于是AB = AB = I O I OA1 IA1 IB11 IB11 IB21 B22B21 B22, , B11 I B11 IA
103、1B11+B21 A1+B22 A1B11+B21 A1+B22 = =第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 于是于是AB = I OA1 IB11 IB21 B22 B11 IA1B11+B21 A1+B22 =,而而A1B11 = 1 2 1 1 1 0 1 2 3 4 0 2=,A1B11 +B21 = 3 4 0 2 1 0 1 1+A1+B22 = 1 2 1 14 12 0+ 2 4 1 1=,3 33 1=. B11 IA1B11+B21 A1+B22 从而从而AB
104、 = =. 1 0 1 0 1 2 0 1 2 4 3 3 1 1 3 1第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 例例例例11. 11. 设设A, BA, B为为n n阶阶可逆矩可逆矩可逆矩可逆矩阵阵,I ,I为为n n阶单阶单位矩位矩位矩位矩阵阵, ,求求求求解解解解: : 设设X1 X2X1 X2X3 X4X3 X4O AO AB IB II OI OO IO I= =, , 那么那么那么那么 X2B = IX2B = IX1A + X2 = 0X1A + X2 = 0X4B
105、= 0X4B = 0X3A + X4 = IX3A + X4 = I| | |解得解得解得解得X1 = X1 = B-1A-1, X2 = B-1, X3 = A-1, X4 =0. B-1A-1, X2 = B-1, X3 = A-1, X4 =0. B-1A-1 B-1B-1A-1 B-1 A-1 O A-1 OX1 X2X1 X2X3 X4X3 X4所以所以所以所以O AO AB IB I-1-1= = =. .O AO AB IB I-1-1. .第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算
106、运算运算运算 设矩阵设矩阵A = A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT.那么那么AT = 4. 分分块转置置 第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 二二. 两种特殊的分两种特殊的分块法法 设A为mn矩矩阵, 记Aj为A的第的第j列列, i为A的的 第第i行行(j = 1, , n, i = 1, , m), 那么有如下两那么有如下两种重要的分种重要的分块方法方
107、法A = A1, A2, , An, = 1T, 2T, , nTT. 1 2 mA =第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 设A为n阶矩矩阵, 假假设A的分的分块矩矩阵只需主只需主对角角线上有非零子上有非零子块, 其他子其他子块都都为零矩零矩阵, 且非零子且非零子块都是方都是方阵, 即即A = A = A1 O OA1 O OO A2 OO A2 O O O AsO O As, ,其中其中A1, A2, As都是方都是方阵, 那么称那么称A为分分块对角矩角矩阵(或准或准对角矩角
108、矩阵).三三. 分分块对角矩角矩阵 1. 定定义第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 那么那么|A| = |A1|A2|As|. 2.分分块对角矩角矩阵的行列式的行列式 设分分块对角矩角矩阵A = A1 O OA1 O OO A2 OO A2 O O O AsO O As, ,第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 2.5 2.5 矩矩矩矩阵阵的分的分的分的分块块运算运算运算运算 A1 = A11 O O O A21 O O O A
109、s1.那么那么A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A1, A2, , As都都 可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆都可逆时,有有3.分分块对角矩角矩阵的逆矩的逆矩阵 设分分块对角矩角矩阵A = A1 O OA1 O OO A2 OO A2 O O O AsO O As, ,1.了解矩了解矩了解矩了解矩阵阵的的的的n n维维向量的概念；向量的概念；向量的概念；向量的概念；2.了解矩了解矩了解矩了解矩阵阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩和向量的加法、数乘、乘法运算及矩和向量的加法、数乘、乘法运算及矩和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵阵 的的的的转转置及相关的运算性置及相关的运算性置及
110、相关的运算性置及相关的运算性质质，熟，熟，熟，熟练练掌握上述运算；掌握上述运算；掌握上述运算；掌握上述运算；3.了解零矩了解零矩了解零矩了解零矩阵阵、单单位矩位矩位矩位矩阵阵、数量矩、数量矩、数量矩、数量矩阵阵、对对角角角角阵阵、三、三、三、三 角角角角阵阵、对对称矩称矩称矩称矩阵阵、反、反、反、反对对称矩称矩称矩称矩阵阵的定的定的定的定义义及其运算性及其运算性及其运算性及其运算性质质；4.了解二了解二了解二了解二阶阶、三、三、三、三阶阶行列式的定行列式的定行列式的定行列式的定义义，熟，熟，熟，熟练练掌握它掌握它掌握它掌握它们们的的的的计计算；算；算；算；5.知道全知道全知道全知道全陈陈列及全
111、列及全列及全列及全陈陈列的逆序数的定列的逆序数的定列的逆序数的定列的逆序数的定义义，会，会，会，会计计算算算算陈陈列的逆序数，知道列的逆序数，知道列的逆序数，知道列的逆序数，知道对换对换及及及及对换对对换对于于于于陈陈列的奇偶性列的奇偶性列的奇偶性列的奇偶性的影响；的影响；的影响；的影响；6.了解了解了解了解n n阶阶行列式的定行列式的定行列式的定行列式的定义义，会用行列式的定，会用行列式的定，会用行列式的定，会用行列式的定义计义计算算算算简单简单的的的的n n阶阶行列式；行列式；行列式；行列式；第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 教学内容和
112、根本要求教学内容和根本要求教学内容和根本要求教学内容和根本要求 7. 掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展 开公式，了解行列式的乘法定理；开公式，了解行列式的乘法定理；8. 掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式 的计算；的计算；9. 了解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别了解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别 方法，掌握逆矩阵的性质；方法，掌握逆矩阵的性质；10. 了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性 质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；11. 了解了解Cramer法那么，掌握用法那么，掌握用Cramer法那么求方法那么求方程组程组 的解的方法；的解的方法；12. 了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵 的运算规那么。的运算规那么。第二章第二章第二章第二章 矩矩矩矩阵阵运算和行列式运算和行列式运算和行列式运算和行列式 教学内容和根本要求教学内容和根本要求教学内容和根本要求教学内容和根本要求
