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1、专题三数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列自主学习导引真题感悟1. (2012 浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn，若S2= 3a2+ 2,S4= 3a4+ 2，贝U q =.解析 利用等比数列的通项公式及前 n项和公式求解.解法一 S4= S2 + a3 + a4= 3a2 + 2 + a3 + a4= 3a4 + 2,2将 a3 = a2q, a4= a2q 代入得，2 2 23a2 + 2 + a2q + a2q = 3a2q + 2,化简得 2q q 3= 0,3解得q=2(q= i不合题意，舍去).解法二 设等比数列an的首项为ai，由= 3a2 + 2,得a
2、i(1 + q) = 3aiq+ 2.由 S4 = 3a4 + 2,得 a1(1 + q)(1 + q2)= 3ag3+ 2.2 2由一得 a1q (1 + q)= 3ag(q 1).3q 0,7 = .答案32. (2012 课标全国卷)已知an为等比数列，a4+ a7 = 2, a5a6= 8,贝U a1 + a10A. 7 B . 5 C. 5 D . 7解析 解法一 利用等比数列的通项公式求解.36 小a4+ a7= a1q + a1q = 2,由题意得452 9a5a6 = a1q xaq = aq = 8,-2,12.ai = 8,9a4 + az 2，a4 2，a4 4，由解得或
3、a5a6 a4az 8，a7 4a7 2解法二 利用等比数列的性质求解.3或q1ai2,12a1 = 8,.a + aio= ai(1 + q )= 7.9-a1 + a10 a1(1 + q ) 7.答案 D考题分析等差数列与等比数列的基本性质与运算是各地高考考查的热点，突出了通性通法.三种题型都有可能出现，有较容易的低档题，也有与其他知识交汇命题的压 轴题.网络构建高频考点突破考点一：等差、等比数列的基本运算【例1】（2012盘锦模拟）已知数列an是各项均为正数的等比数列，且 a1 +a2=2 右+a，盼a4=32 2+a.(1) 求数列an的通项公式；设bn= a2 + log2an,求
4、数列bn的前n项和Sn.审题导引(1)利用所给的条件式求出aa与q,可求an;(2) 把数列bn分解为一个等差数列与一个等比数列，分组求和.门 1、ai + a2规范解答為+a2二2石+a；二2x応,11a3 + a4出+32 03+a；二 3宾号肓,数列an各项均为正数， aia2= 2, a3a4= 32,q； =書=16,.g 2,=a1a2=又 a192 = a1 aq= 2,a1= 1,an = a1qn-1 = 2-1.2n 1(2).bn= an+ Iog2an,bn= 4 - + (n- 1),0= b1 + b2 + b3 + + bn0 1 2 n 1=(40 + 41 +
5、 42+ 4n-1)+ (0+ 1+ 2+- + n- 1)4n- 1 n n- 1=丁 +【规律总结】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含 a1 d(或 q)、n、an与Sn这五个 量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个.其中 a1和d(或q)是两个基本 量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量， 然后根 据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程 思想在数列问题中的体现.易错提示等差(比)数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，
6、导致增解；二是不能灵 活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复 杂，增大运算量.【变式训练】1. (2012 安徽师大附中模拟)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5二8, S3二6, 则s10 - s的值是A. 24B . 36C. 48D . 72解析S3= 3a2= 6，a2=2，又 a5= 8，3d= a5 a2=6，d = 2. Sio S ag+ a9 + ai0 3a9=3a5+ (9 5) d = 48.答案 C2. (2012青岛模拟)设等比数列an的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对？ n N +，有S2n3Sn，则q的取值范围是A
7、. (0,1 B. (0,2) C. 1,2) D. (0，.2)解析当q= 1时，显然有S2n3S, 当 qM 1 时，tS2n 3Sn，ai(1 qn)即 n 3Sn=(qn 2) 0.i q qn 2 0恒成立,0 q0, ai40,a7 ai40,.a + a? + a = 15,-a? d + a?+ a? + d = 15, a? 5.又 a1a2a3= 80,d2 = 9.d 0,d= 3.则 a11+ a12 + a13 = 3a12= 3(a2+ 10d) = 105.答案 B名师押题咼考【押题11在等比数列an中，a1 = 8, a4= a3a5,贝U a7 =解析解法一设等比数列an的公比为q.3244 = a3a5, a1 = 8,8 q = 8 q 8 q ,即 q3=1，/q= 2,a7= a1q6 = 8 ? 6=解法二.a4= a3a5= a2, 且 a4工0,.a4= 1.2 1 又-a4= a1a7, 即 卩 1 = 8a7,a7=答案 B押题依据本题可根据给出的条件利用等比数列的通项公式求解,等比数列的性质求解，解题切口较宽，不仅考查数列的通性通法, 对能力的考查，符合高考的要求，故押此题.【押题 21 在数列an中，a1= 1, an +1 = 2& + 2n.(1) 设bn=证明：数列bn是等差数列；(2) 求数列
