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1、-经典习题古典概率局部1、设为随机事件，且。假设相互独立，则；假设互斥，则；假设，则；假设，则，。 2、设为随机事件，且，证明:.假设，则独立；.假设，则。证明:由于，故.假设，则， 故，即独立；.假设，则，故。3、设，则。证明:。4、进展次独立重复试验，每次试验中事件发生的概率都是，假设发生次，则发生的概率为，求发生的概率。解: 用表示在次独立重复试验中事件发生次，则，故。5、进展独立重复试验，直到事件发生为止，假设每次试验中发生的概率都是，求迟早要发生的概率。解:用表示在第次试验中事件发生，表示迟早要发生，则，故， 只要试验中发生的概率，则在独立重复试验中，迟早会发生。6、把一个外表涂上颜
2、色的正立方体锯成个大小一样的小立方体，再将它们充分混合后，放回地随机取个，其中为自然数，求所取的个小立方体中，个面上有颜色的个数恰为的概率。解: 以正方体的*一顶点为原点、过该顶点的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设正立方体的棱长为，则将其锯成个大小一样的小立方体，就是沿三组平面:锯开，这样锯开后:只有位于原来立方体顶点处的小立方体之三面有色(共有个)，位于原来立方体棱上的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个，共有个)，位于原来立方体外表的小立方体之两面有色(出去顶点处的8个及棱上个，共有个)，其余个是外表无色的，用表示任取的一个小立方体是面有色的，则，故所取的个小立方体中，个面上有颜
3、色的个数恰为的概率为:，其中为整数，且。7、*种商品的商标应为“,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“的概率。解:用表示脱落的字母为商标“中第个字母(从左数起)，用表示将脱落的字母放回后仍为“,则，故。 8、设有个人，是其中的两人，在以下情形下，分别求之间恰有人的概率:.人排成一排；.人排成一圈。解:用表示试验的样本空间，表示所求的事件，则问题是古典概率问题。.假设人排成一排，则，而事件发生当且仅当“排在第个位置，而排在第个位置或“排在第个位置，而排在第个位置，故，从而之间恰有人的概率为:；.假设人排成一圈，则此时以所在的位置为第一位，按顺时针方向依次为第位，从而，而事件发生
4、当且仅当“以所在的位置为第一位，按顺时针方向计算，排在第个位置，或排在第个位置，故假设为奇数，则，故；假设为偶数，则，故；上述还可以统一表示为:。 9、从双不同尺码的鞋子中随机地取只，求所取的鞋子中恰好有只能配成双鞋的概率(其中，且)。解:用表示试验的样本空间，表示所求事件，则很显然这是古典概率问题，且，故。 10、设有个袋子，每个袋中装有种颜色的球，其中第个袋中所含第种颜色的球数为，先随机地取一个袋子，再从所选的袋子中随机地取一球，求所取的球是第种颜色的概率。解:用表示选袋子时，选到的是第个袋子，表示最后取到的是第种颜色的球，并记，则，在由全概率公式得。11、工厂检查产品质量时，对每批产品进
5、展放回抽样检查，如果在抽取到件时发现次品，则立即停顿检查，并认为这批产品不合格；如果连续抽取的件都合格，则也停顿检查，并认为这批产品合格。假设*产品的次品率为，求这批产品抽检的样品数为的概率。解:用表示抽检的第件样品合格，表示这批产品抽检的样品数，则。12、为了估计*湖中鱼的数量，捕捉了条鱼，给其做上标记后放回到湖中，再从中重新捕捉了条鱼，结果发现有是做了标记的，问湖中有多少条鱼的可能性最大?解:设湖中有条鱼，其中做了标记的有条，其余是未做标记的，则湖中重新捕捉的条鱼中有条做了标记的鱼的概率为:，由于，故时，是单调递增的，而时是单调递减的，从而的最大值点为，故湖中有条鱼的可能性最大。13、设袋
6、中有只白球，只黑球，现丧失一只球，但不知其颜色，为了确定其颜色，从袋中随机地取球，发现其中有只白球，其余为黑球，问丧失的那只球最有可能是什么颜色?解:用表示丧失的那只球是白球，表示从袋中随机地取球，发现其中有只白球，则:，假设，则丧失的最有可能是白球，否则，丧失的最有可能是黑球。14、设人每人携带一件礼品参加聚会，聚会开场后，先把所有礼品编号，然后每人任抽一个，按领取礼品，求领到自己带来的礼品的人数之概率分布及其数字特征。解:用表示第人领到自己带来的礼品，则对任意的自然数，有，故，。特别(分布)，。15、设袋子有种不同颜色的球，其中第种颜色的球所占之比例为，且，从袋中放回地随机取球，每次取一球
7、，直到所有颜色的球都出现为止，用表示试验完毕时的取球次数，求的概率分布。解:用表示第次取到一只第种颜色的球，则事件“发生当且仅当存在，使之满足“第次取到的一只球是第种颜色的球，即发生，且前次取球时，其余种颜色的球都至少取一次，令，则由全概率公式得:。16、*人有甲、乙两盒火柴，甲盒中有根火柴，乙盒中有根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒，取到甲、乙两盒的概率分别为，然后再从中随机地取一根，求他首次拿到空的火柴盒时，另一盒中还有根的概率()。解:用表示“他首次拿到的空火柴盒是甲盒，表示“他首次拿到空的火柴盒时，另一盒中还有根火柴，则他总共那了次火柴盒，且最后一次取到的是空盒，而前次中，他拿过
8、此盒火柴的次数，故由全概率公式得:。17、甲、乙两人各出元赌博，每一赌局甲方获胜的概率为，乙方获胜的概率为(没有平局)，约定赌博进展到其中一人先胜满一定局数时完毕，且先胜满规定局数者将赢得所有赌资，由于*种原因，赌博中途停顿，这时甲需再胜局才能赢得所有赌资，而乙需再胜局才能赢得所有赌资，其中，问应该如何分配元的赌资才算公平?解:很显然，平分赌资、*人独得所有赌资或按甲、乙所胜局数的比例分配赌资，都不能使两人都满意，因此公平的分配方案应在假设游戏能进展下去的情况下，按他们二人分别获得全局优胜的概率之比来分配赌资，只有这样，才能使两人都无话可说。用表示“在游戏能进展下去的假设下，甲赢得所有赌资(即
9、甲方先赢了局)，则 发生等价于“在未来的局中，前面局中乙胜了局，甲胜了局，且甲胜了第局，其中，故， 从而甲、乙两人赢得的赌资数额为。 18、设有个人(编号分别为)参加乒乓球比赛，第一轮比赛时，将个人随机地两两配对，输者被淘汰掉，赢者再随机地两两配对进展第二轮比赛，如此类似进展后面的各轮比赛，直到经过轮比赛后，只剩一名整场比赛的优胜者为止。假设每个人在各场比赛中获胜的可能性都一样，求第人能进入第轮比赛的概率；第在第轮比赛中相遇的概率；第人为整场比赛的优胜者的概率。19、设每个人出生于一年(只考虑平年)天中任何一天的可能性都一样，现随机地选取个人，其中，求所取的个人中至少有两人同生日的概率。解:表
10、示个人中至少有两人同生日，则由于每个人出生于一年(只考虑平年)天中任何一天的可能性都一样，故个人的不同排列就是从可重复地选取个数组成的全排列，这样的排列共有个，而，故，经过计算可得下表:20233040506410020、两人玩游戏，第一人写好一个数，第二人猜想第一人所写的数字，假设第一人后一次写与前面所写的数字独立，且每次写的概率为，写的概率为，问第二人应采用何策略，即他应以怎样的概率说出每个数字，才能使其猜中的次数最多?解:用分别表示第一人在第次写的数字为、，分别表示第二人在第次猜的数字为、，则独立，再设第二人采用的策略为，则第次猜对的概率为，它是的线性函数，其最大值点为:，即时，第二人应
11、每次说出，否则每次说出。 21、将有一枚匀质的骰子连掷假设干次，用表示“所掷次中至少出现个6点，求，其中。 解:每次抛掷骰子时，出现6点的概率都是，故“所掷次中至少出现个6点的概率为:。 22、设甲袋中有只黑球、只白球，乙袋中有只黑球，其中为自然数，现从甲、乙两袋中随机地各取一球，交换后放回袋中，即把甲袋中取到的球放入乙袋，而把乙袋中取到的球放入甲袋，然后按同样的规则继续交换，求经过次交换后白球仍在甲袋中的概率。 解:令表示经过次交换后白球仍在甲袋中,表示经过次交换后白球在乙袋中，则，且由全概率公式得:，。23、设袋中有只白球，只黑球，每次从袋中取出一球(取出的球不放回)，往袋中另放一球，放入
12、的球之颜色按如下规则，再从袋中取下一个球，求经过次取放后，从袋中取一球为白球的概率:放入的球为白球、黑球之概率依次为、，；放入的球与取出的球异色、同色(仍为黑白两色之一)之概率依次为、，。解:用表示“经过次取放后，袋中的白球数，分别表示“经过次取放后，再从袋中取一球为白球、黑球，即第次取球时取到白球、黑球，则。假设放入的球为白球、黑球之概率依次为、，用分别表示“第次放入的是白、黑球，则由全概率公式得；假设放入的球与取出的球异色、同色(仍为黑白两色之一)之概率依次为、，用分别表示“第次放入的与取出的球异、同色，则由全概率公式得。24、设甲袋中有只白球，只黑球，乙袋中有只白球，只黑球，先从甲袋中取
13、一球，假设得白球，下次则以概率从甲袋中取一球、以概率从乙袋中取一球；假设得黑球，下次则以概率从甲袋中取一球、以概率从乙袋中取一球。解:用分别表示“第次取到的球为白球、黑球，分别表示“第次从甲、乙取球,则，故由全概率公式得。25、设甲袋中有只白球，只黑球，乙袋中有只白球，只黑球，从两袋中各取一球交换放入另一袋中，则经过次交换后，从甲袋中再取一球为白球的概率为解:用分别表示“经过次交换后，第次从甲袋中再取一球为白球、黑球，分别表示“经过次交换后，第次从乙袋中再取一球为白球、黑球，而分别表示“经过次交换后，甲袋中的白球数(即乙袋中的黑球数)，则，独立，故由全概率公式得。 26、设在用户向总机来次呼叫
14、的概率为，且在不交叠的时段是否来呼叫、来多少次都互不相关，而，在来一次呼叫的概率为，来两次及两次以上的概率为，求。解:用表示在用户向总机的呼叫次数，则由全概率公式得，故满足如下方程:，解之得。 27、随机游动:设一个质点在直线上运动，在任意时刻所处位置的可能为之一，且初始位置的概率分布为；状态转移概率:，有，其中，而均为常数；求该质点任意时刻所处位置的概率分布及其平稳分布。解:由题设知该质点运动的状态转移概率矩阵为:， 且瞬时概率分布及其平稳分布满足状态转移方程及平稳方程:，即。假设，则平稳分布为:；假设，则平稳分布为:，即，这时为唯一的吸收壁；假设，则平稳分布为:，即，这时为唯一的吸收壁；假设，则平稳分布为:，即，其中，这时与为两个吸收壁。假设，且，其中均为常数，则可对角化:，这时，由状态转移方程得时刻的瞬时概率分布:，当且仅当时，存在极限分布。28、设甲袋中有只黑球，乙袋中有只白球，其中为自然数，现从甲、乙两袋
