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1、第三节空间向量在立体几何中的应用第一部分三年高考荟萃2010年高考题一、选择题1. （2010全国卷2理）（11）与正方体 ABCD ABC1D1的三条棱 AB、CC1、AD1所在 直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D【解析】直线ED上取一点，分别作 肛 段F0：垂直于于0如。，则 股_L平面&.C：， PO： _L平面E C， P0： _L平面，S，口，氏分别 作5、-ABQR,垂足分别为 m n, q连pm pn pq由三垂线定理可得，PNI AN1，PMLG; PQ! AB,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 PO-PO-P
2、Or，5、= ： 乂 = 口& ,，PM=PN=PQ 即 P 到三条棱 AR CC、AD.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.2. （2010辽宁理）（12） （12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（A）（0, x/6+72）（B）（1,272）（C）（76-72,76+72）（D）（0,2点）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问.题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为 a的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有 以下两种情况：（1）地面
3、是边长为 2的正三角形，三条侧棱长为 2, a, a,如图，此时a可 以取最大值，可知 AD= 73 , SD= Va2 -1 ,则有 Ja2 -1 2+ 33 ,即用心 爱心 专心#a2 8+473=(76+72)2,即有 a0;综上分析可知aC ( 0,、,6 、,2)3.(2010全国卷2文)(11)与正方体ABCD- AB1GD的三条棱 AB CC、AQ所在直线的距离相等的点(A)有且只有1个(B)有且只有2个(D)有无数个(C)有且只有3个【解析】：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上, ，三个圆柱面有无数个交点,4. (
4、2010全国卷2文)(8)已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABCSA=3,那么直线 AB与平面SBC所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角O过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于 F,连 BF,二.正三角形 ABC E 为 BC中点，; BCAE, SALBC,BCL面 SAE,BCXAF, AF SEE,AF，面 SBC/ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3,AE = J3 ,SA_3AS=3,SE=26, AF=23 sin . A
5、BF =45. (2010全国卷1 文)(9)正方体ABCD-AB1c1中，BB1与平面ACDi所成角的余弦值为( 3【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出 D到平面ACDi的距离是解决本题的关键所在,这也是转用中想的具体体现.CiAiBi【解析1】因为BB/DDi,所以BBi与平面ACDi所成角和 DD与平面ACDi所成角相等，设DOL平面ACDi ,由等体积法得Vd_JACD1 - Vd1 SCD ,Crr I -即鼻SACDDO 31 c-o SACD DDi.设 DD=a, 3f,1 I， i - o , 3.3 o1,1
6、o则 S ACD =ACLAD1sin60 = (, 2a)2 =一a2, S ACD = ADCD = a2.2222 A 22所以D 0=S-CD D a,记 DD与平面 AC Di所成角为日，则S.A c d、，3a 3sin9=-=,所以 cos=- DD133所成角，cos-OiODi aOQODi-3-6= 1/,2=T6. （20i0全国卷i理）（I2）已知在半径为 2的球面上有A、B C D 四点，若 AB=CD=2贝U四面体ABCM体积的最大值为(A) 2-(B)343323833【解析2】设上下底面的中心分别为 。，0 ； 00与平面ACD1所成角就是BB与平面ACD1分析
7、：本小题主要考查几何体的体枳的计算.球的性质.异面直线的距离，逋过球这个载体考查考生的空闿想象能力及推理运算能力.解：当异面直境HE与CD间距离最大，旦月时，四面体ABCD的体枳 最大.分别取与CD的中点E、尸，连结EF,此时球心?在线段EF上7. （2010全国卷1理）（7）正方体ABCD-AB1clD1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（A）与（B）与（C） 2（D）当分析本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、戊到平面的距离的求法.突出转化思想的运用.解法一： B坛。口,即求OR与面力CT所成角，易知/翼6口即为所求，的。用=DRDp 3解法二：也可利用等体根转化，求出。到
8、平面马的距离d故选瓦8. （2010四川文）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a,垂足为B, ABCD是平面a内边长为R的正三角形，线段 AC、AD分别与球面交于点 M、N ,那么M、N两点间的球面距离是/A、C17C c18(A) Rarccos(B) Rarccos2525(C) 1nR(D)hr315【答案】A1【解析】由已知， AB= 2R BC= R故tan / BAC=-2cos/ BAC=2.5连结OM则 OAM;等腰三角形且 MIN/ CDA阵 2AOcoM BAC= 45 R ,同理 AN= 45 R ,而 AC= 5 R, CD= R故 MN CD= ANAC=MN
9、= 4R, 5连结 OM ON 有 OM= ON= R于是 cos / MONOM 2 ON2 -MN 2172om Lon2517所以M N两点间的球，面距离是Rarccos1725二、填空题1. (2010江西理)16.如图，在三B隹OABC中，三条棱OA, OB,OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱 OA, OB, OC作一个截面平分三棱锥的体积， 截面面积依次为S1, s2 , s3 ,则G, s2 ,S3的大小关系为S3,二 S2,二 S【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论,特殊化，令边长为1, 2, 3 得 S3 S2。2. (20
10、10北京文)(14)如图放置的边长为 1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p (x, y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y = f(x),则f(x)的最小正周期为y = f (x)在其两个相邻零点间的图像与x轴B所围区域的面积为【答案】47： 1说明：“正方形PABCgx轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续，类似地，正方形 PABCM以与旨着x轴负方向滚动。3. (2010北京理)(14)如图放置的边长为 1的正方形PABC沿x像与x轴所围区域的面积为【答案】47：1说明：“正方形PA
11、Bg 7轴滚动”包括沿 7轴正方向和沿7轴负方向滚动。沿 7轴正方向 滚动指的是先以顶点 A为中心顺时针旋转，当顶点 B落在厘轴上时，再以顶点 B为中心顺 时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABCT以沿L轴负方向滚动。4. （2010四川文）（15）如图，二面角 口lP的大小是60AB与l所成的角为30。.则AB与平面P所成的角的正弦值是【答案】立4【解析】过点 A作平面3的垂线，垂足为 C,在3内过C作l的垂线.垂足为D连结AD有三垂线定理可知 ADL l ,故/ ADg二面角a -l -P的平面角，为60又由已知，/ ABD= 30。连结CB则/ABC为AB与平面P所成的角设 AD=
12、2,则 AC= 73 , CD= 1AD ，AB= 0 =4sin30.sin /ABC=也二旦AB 45. （2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm.【答案】4【解析】设球半径为 r,则由3V球+V水=V柱可彳导3 M4nr3+nr2M8=nr2M6r,3解得r=4.36. （2010湖南理数）13 .图3中的二个直角二角形是一个体积为20 cm的几何体的三视图,【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5m1、6cm三棱锋的高为
13、hem则三棱锥的体积为二=十585=20,解得=4W，【命题意图】本题考查简单几何体的三视图，三棱锥的体积，考察空间想象能力，属中档题*7. （2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球 （如图所示），则球的半径是cm 。【答案】4【解析】设球半径为r,则由3V球+V水 封柱可得3 x- nr3 +叮2父8 =n2 m6r , 3解得r=4.8. （2010福建理数）第12题图12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 用心 爱心 专心#【答案】6+2,3【解析】由正视图知：三棱
14、柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱，所以底面积为2x43x4=2石，侧面积为3父2父1=6,所以其表面积为 6+23。 4【命题意图】 本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、 空间想象能力等基本能力。三、解答题1. （2010辽宁文）（19）（本小题满分12分）如图，棱柱ABC ABG的侧面BCC1B1是菱形，B1C_LA1B加 .（I）证明：平面AB1C _L平面A BC1 ；八（n ）设D是AG上的点，且A1B/平面BCD,求 LAAD:DC1 的值.解：（I）因为侧面 BCCB是菱形，所以B1C _L BC1又已知 B1C _L A1B,且ABc BC1 = B所又B1C _L平囿ABC, 乂 B1C U平囿ABC ,所以平囿 AB1C _L平囿A1BC .（n）设BC交B1C于点E,连结DE,则DE是平面 A1BC与平面B1CD的交线，因为A1B平面B1CD 所以 A1BDE.
