《浙江专用高考数学总复习第五章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案1014》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用高考数学总复习第五章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案1014（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做a与b的数量积(或内积)
2、，记作ab，即ab|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(a
3、b)cacbc(分配律).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.()(5)abac(a0)，则bc.()解析(1)两个向量夹角的范围是0，.(4)若ab0，a和b的夹角可能为0；若ab0，a和b的夹角可能为.(5)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2
4、015全国卷)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2解析因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，选C.答案C3.(2017湖州模拟)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_.解析因为(ab)a，所以(ab)a|a|2|a|b|cosa，b32cosa，b0，解得cosa，b，由于a，b0，.则向量a，b的夹角为.答案4.(2016石家庄模拟)已知平面向量a，b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|_.解析|ab|2|a|22ab|b|242
5、|a|b|cos 14213，|ab|.答案5.(必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_.解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案26.(2017瑞安一中检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，2)，|b|1，且ab与a2b垂直，则向量ab_；a与b的夹角的余弦值为_.解析(ab)(a2b)，(ab)(a2b)0，即|a|2ab2|b|20，5ab20，ab3，cos .答案3考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2015四川卷)设四边形ABCD为平行四边
6、形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A.20 B. 15 C.9 D.6(2)(2016天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A. B. C. D.解析(1)取，为一组基底.3，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.(2)法一如图所示，根据已知得，所以，则()222211cos 60.故选B.法二建立如图所示的平面直角坐标系.则B，C，A，所以(1，0).易知DEAC，FECACE60，则EFAC，所以点F的坐标为，则，所以(1，0).故选B.答案(1)C(2)B规律方法(1
7、)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2017义乌市调研)在RtABC中，A90，ABAC2，点D为AC的中点，点E满足，则_.(2)(2017宁波质检)已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_.解析(1)法一因为()，.因为ABAC，所以0，所以|2|222222.法二建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，
8、E，所以，(2，1)，所以(2，1)(2)12.(2)法一如图，()21，()|21.法二以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t0，1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1，0)，所以(t，1)(1，0)t1，故的最大值为1.法三由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11.当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.答案(1)2(2)11考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(
9、ab)b，则m()A.8 B.6 C.6 D.8(2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故选D.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)0，解得k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向.综上，k的取值范围为.答案(1)D(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数
10、量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2016全国卷)已知向量，则ABC()A.30 B.45 C.60 D.120(2)(2016全国卷)设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析(1)|1，|1，cosABC.由，0，180，得ABC30.(2)由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.答案(1)A(2)2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017云南统一检测)已知平面
11、向量a与b的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b|()A. B.C.57 D.61(2)(2016浙江卷)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_.解析(1)由题意可得ab|a|b|cos3，所以|2a3b|，故选B.(2)由已知可得：|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式对任意单位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.答案(1)B(2)规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几
12、何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.解析(1)设D(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3，0)到点(1，)的距离加上圆的半径，即11.(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx(0xa)，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).(2，x)，(1，ax)，323(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，当x时取等号.|3|的最小值为5.答案(1)1(2)5思想方法1.计算数量积的三种方法：定
