《浙江专用高考数学总复习第五章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案1014》由会员分享,可在线阅读,更多相关《浙江专用高考数学总复习第五章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及其应用学案1014(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题;6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记a,b,则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos_ 叫做a与b的数量积(或内积)
2、,记作ab,即ab|a|b|cos_,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a0.(3)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1,y1),b(x2,y2),为向量a,b的夹角.(1)数量积:ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模:|a|.(3)夹角:cos .(4)两非零向量ab的充要条件:ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(a
3、b)cacbc(分配律).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.()(5)abac(a0),则bc.()解析(1)两个向量夹角的范围是0,.(4)若ab0,a和b的夹角可能为0;若ab0,a和b的夹角可能为.(5)由abac(a0)得|a|b|cosa,b|a|c|cosa,c,所以向量b和c不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2
4、015全国卷)向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2解析因为a(1,1),b(1,2),所以2ab2(1,1)(1,2)(1,0),得(2ab)a(1,0)(1,1)1,选C.答案C3.(2017湖州模拟)已知向量a,b,其中|a|,|b|2,且(ab)a,则向量a和b的夹角是_.解析因为(ab)a,所以(ab)a|a|2|a|b|cosa,b32cosa,b0,解得cosa,b,由于a,b0,.则向量a,b的夹角为.答案4.(2016石家庄模拟)已知平面向量a,b的夹角为,|a|2,|b|1,则|ab|_.解析|ab|2|a|22ab|b|242
5、|a|b|cos 14213,|ab|.答案5.(必修4P104例1改编)已知|a|5,|b|4,a与b的夹角120,则向量b在向量a方向上的投影为_.解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案26.(2017瑞安一中检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2),|b|1,且ab与a2b垂直,则向量ab_;a与b的夹角的余弦值为_.解析(ab)(a2b),(ab)(a2b)0,即|a|2ab2|b|20,5ab20,ab3,cos .答案3考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2015四川卷)设四边形ABCD为平行四边
6、形,|6,|4,若点M,N满足3,2,则等于()A.20 B. 15 C.9 D.6(2)(2016天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE2EF,则的值为()A. B. C. D.解析(1)取,为一组基底.3,(43)(43)(16292)(1662942)9,选C.(2)法一如图所示,根据已知得,所以,则()222211cos 60.故选B.法二建立如图所示的平面直角坐标系.则B,C,A,所以(1,0).易知DEAC,FECACE60,则EFAC,所以点F的坐标为,则,所以(1,0).故选B.答案(1)C(2)B规律方法(1
7、)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2017义乌市调研)在RtABC中,A90,ABAC2,点D为AC的中点,点E满足,则_.(2)(2017宁波质检)已有正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.解析(1)法一因为(),.因为ABAC,所以0,所以|2|222222.法二建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),
8、E,所以,(2,1),所以(2,1)(2)12.(2)法一如图,()21,()|21.法二以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.法三由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB1,|11.当E运动到B点时,在方向上的投影最大即为DC1,()max|11.答案(1)2(2)11考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016全国卷)已知向量a(1,m),b(3,2),且(
9、ab)b,则m()A.8 B.6 C.6 D.8(2)若向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),已知2a3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是_.解析(1)由题知ab(4,m2),因为(ab)b,所以(ab)b0,即43(2)(m2)0,解之得m8,故选D.(2)2a3b与c的夹角为钝角,(2a3b)c0,即(2k3,6)(2,1)0,解得k3.又若(2a3b)c,则2k312,即k.当k时,2a3b(12,6)6c,即2a3b与c反向.综上,k的取值范围为.答案(1)D(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,cos (夹角公式),abab0等,可知平面向量的数
10、量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)(2016全国卷)已知向量,则ABC()A.30 B.45 C.60 D.120(2)(2016全国卷)设向量a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则m_.解析(1)|1,|1,cosABC.由,0,180,得ABC30.(2)由|ab|2|a|2|b|2,得ab,所以m1120,得m2.答案(1)A(2)2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017云南统一检测)已知平面
11、向量a与b的夹角等于,若|a|2,|b|3,则|2a3b|()A. B.C.57 D.61(2)(2016浙江卷)已知向量a,b,|a|1,|b|2.若对任意单位向量e,均有|ae|be|,则ab的最大值是_.解析(1)由题意可得ab|a|b|cos3,所以|2a3b|,故选B.(2)由已知可得:|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式对任意单位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab,ab.答案(1)B(2)规律方法(1)求向量的模的方法:公式法,利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;几何法,利用向量的几
12、何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法:代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|1,则|的最大值是_.(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_.解析(1)设D(x,y),由|1,得(x3)2y21,向量(x1,y),故|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1,)距离的最大值,其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3,0)到点(1,)的距离加上圆的半径,即11.(2)以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DCa,DPx(0xa),D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x).(2,x),(1,ax),323(5,3a4x),|3|225(3a4x)225,当x时取等号.|3|的最小值为5.答案(1)1(2)5思想方法1.计算数量积的三种方法:定