射影几何与解析几何

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1、第十章：射影几何与解析几何第一节 射影几何一、历史背景1566年，科曼迪诺(F. Commandino, 15091575)把阿波罗尼奥斯 (Apollonius)的圆锥曲线论(Conics)前四卷译成拉丁文，引起了人们对几 何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴.在短短几十年的时间里，便突破传 统几何的局限，产生了一门崭新的学科射影几何.由于新学科把无穷远 点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛.射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的.在中世 纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图.但到了文艺复兴时期，描绘 现实世界逐渐成为绘画的目标了.为了在画布上忠实地

2、再现大自然，就需要 解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上.意大利的 建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L. B. Alberti，14041472)认真考虑了这一问 题.他在1435年写成的论绘画 (Dellapittura， 1511年出版)一书中阐述了 这样的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛 出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线.他设想每根线与玻璃板交于 一点，这些点的集合叫做截景.显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样， 所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景.例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10. 1)时

3、，从O到矩 形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA, OB，OC，OD是四根典型的投影 线.若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A, B, C，D,则四边形A B C D为矩形ABCD的截景.由于截景对人眼 产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处.但从直观上看，截景 和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形.那么， 截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的 问题.阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面 的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的.但 所有截景都反映同一景物，它们之间必

4、存在某种关系.于是他进一步提出问 题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学 性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点.二、德扎格的工作射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格(G. Desargues, 1591 1661). 1639年,他发表了一本重要著作试论圆锥与平面相交结果(Brouillon projet dune atteinte aux evenements des rencontres du cone avec un plan). 这部 书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展,被公认为这一学科的经典.但它在发 表之初,却没有受到数学家们的重视.德扎格把书

5、印了50份,分送给他的朋 友，不久便全部散失了.直到1845年，沙勒(M. Chasles, 17931880)才偶 然发现了一个手抄本，由波德(N. G. Poudra)加以复制，使德扎格的射影几 何成果复明于世， 1950年左右，这部书的一个原版本终于在巴黎被发现，并 复制发行.为什么德扎格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因.一是它被差不多 同时出现的解析几何掩盖了.从思想的深刻来讲，德扎格是可以和笛卡儿媲 美的.但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速得到数量 结果，而射影几何主要是对几何的定性研究.当时的技术发展更需要解析几 何这样的有力工具.第二个原因是，德扎格的写作形式

6、比较古怪，他引进了 70个新术语，其中多是从植物学借用的例如，他用棕(Palm)、干、树来表 示三种不同性质的直线.这类语句及不易理解的思想，使他的书难于阅读.除 了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作.德扎格数学思想的出色之处，首先在于他引进了无穷远点和无穷远 线.阿尔贝蒂曾指出，画面上的平行线应画成交于一点，除非它们平行于玻 璃板(图10. 1).例如，图10. 1中的B C和A D便相交于某点0， 这一点不和BC或AD上任何普通的点对应，所以叫没影点，而除0外的直 线B C或A D上的任何点，都对应着BC或AD上某个确定的点.为了 使B C与BC上的点以及A D与A

7、D上的点有完全的对应关系，德扎格 在AD及BC上引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看作两平行线的公共 点.所有平行于BC的直线都交于这一点，方向不同于BC的另外一组平行线 则有另外一个公共的无穷远点.由于平行线组的数目是无穷的，德扎格实际 是在平面上引入了无穷多的新点.他假定所有这些点都在同一直线上，而这 直线则对应于截景上的水平线或没影线(即图10. 1中的00 ).以这种新规 定为前提，我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了，因为不平 行线交于普通点而平行线交于无穷远点.引入了无穷远点和无穷远线后，德扎格研究了这样的问题：设有点0(图 10. 2)及三角形ABC，则OB, OC，

8、OA可看作三条投影线，ABC的一个 截景为A B C，其中A与A对应，B与B对应，C与C对应.显然， AA， BB和CC交于一点O,设AB与A B交于Q, AC与A C交 于P, BC与B C交于R,德扎格证明了： Q, P, R必在一条直线上.这就 是著名的德扎格定理：若两个三角形对应顶点连线共点，则对应边交点共 线.不管两个三角形是否在同一平面，定理都是成立的，逆定理也同样成 立.德扎格在书中对二维和三维情况的正、逆定理都作了证明.在深入研究投影性质的基础上，德扎格终于回答了阿尔贝蒂早就提出的 问题：同一实物的两个截景间有什么数学关系？这实质是一个投影下的不变 性问题德扎格发现：交比在投影

9、下是不变的.所谓交比，是指直线上依次排列的四点A, B, C, D所形成的德扎格的理论，若OA, OB, OC, 0D是四条投影线，l和l是l12德扎格在书中还引入对合的概念：若一条直线上的三对点B, H； D, F；C, G具有如下关系则称这三对点是对合的；当D=F且C = G时，上式变成这就给出两对点(B, H； D, C)对合的定义，它可以看作三对点对合的特殊 情况至于三对点以上的对合,完全是以三对点对合为依据来定义的例如, 当B, H； D, F； C, G； M, N具有如下关系时,则称这四对点是对合的,依此类推德扎格发现了一个重要事实：对合 关系也是投影下的不变量他证明了许多有关对

10、合的定理,下面一个是十分 著名的.为了介绍这个定理，我们先介绍完全四边形的概念.设B, C, D, E是平面上任意四点，其中没有三点共线.EB与DC交于F, BC与ED交于N, 则EN, BN, EF, DF, EC, BD六条线形成完全四边形的各边，其中EN 和BN是对边，EF和DF是对边，BD和EC也是对边.德扎格的定理为：若B, C, D, E在一圆上，直线PM交完全四边形各组对边于P, Q； I, K；以及G, H,交圆于L, M,那么这四组点是对合的(图10. 4).德扎格把他的射影几何思想用于圆锥曲线,得到许多新颖的结果：直线 可以看作具有无限长半径的圆的一部分；焦点相合的椭圆退化

11、为圆；焦点之 一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的 交线，而是理解为圆的截景圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口 的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的，只不过是一个点在无穷远而 已德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而 为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景例如上面介绍过的关于对合的定理， 德扎格便通过投影法推广到一般圆锥曲线，因为圆的截景可以是任意的圆锥 曲线，而对合关系在投影后是不变的从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质三、帕斯卡的工作帕斯卡(B. Pascal, 16231662)是德扎格的学生，仅仅活了39岁.他 是一位了不起的天才，在

12、微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引 人注目的贡献，他是手摇计算机的发明者，还是法国著名的文学家，物理方 面的成就也不少.这里着重谈他的射影几何方面的工作.帕斯卡从12岁起就对几何发生了兴趣，并发现了一些初等几何的定 理. 14岁时参加了巴黎数学家的每周聚会，他在这里得到德扎格的指导，逐 渐熟悉了德扎格的射影几何思想.德扎格建议他用射影法研究二次曲线，他 接受了这个建议. 16岁那年(1639)，帕斯卡写成一本约八页的小册子略论 圆锥曲线(Essay pourles coniques).大数学家笛卡儿看过以后，觉得如此出 色，竟然不相信它是一个这样年轻的人写的.遗憾的是这本书不久便失传

13、了， 直到1779年才被重新发现.帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理：若一个六边形内接于一圆锥曲 线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上.如图10. 5, P，Q及R在 同一直线上.若六边形的对边两两平行，贝UP, Q，R在无穷远线上.该定理 被后人称为帕斯卡定理，在射影几何里是十分重要的.帕斯卡首先证明了该定理对圆成立.然后用投影法转到一般圆锥曲 线.他说由于对圆成立，所以通过取截景后，必对所有圆锥曲线都成立.实 际上，若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景，则截景必含一圆锥 曲线及内接六边形，六边形的对边仍将交于一条直线上的三点.这条直线与 PQR相对应.该定理确定了圆锥曲线上六个

14、点的射影相关性.如果已知六个 点中的五个，就能确定一条圆锥曲线.这个定理是射影几何中内容最丰富的 定理之一，由它出发可以导出大量推论.例如：(1)如果一个三角形内接于 一圆锥曲线,则其顶点上的切线与对边交于三个共线点.(2)若五边形ABCDE 内接于一圆锥曲线，贝UAB， DE； BC，EA； CD与A点上的切线交于三个共 线点(3)内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边，连同对着的顶点的两对 切线，交于四个共线点帕斯卡定理的逆定理(若个六边形的三对对边的三个交点共线，则六边形顶点在一圆锥曲线上)也是成立的，但帕斯卡没有考虑四、射影几何中的新思想伴随着射影几何的诞生，一些崭新的数学思想出现了首先是

15、数学对象 从种形状连续变到另一形状的思想实际上，最早注意这一问题的是开普 勒(J. Kepbr)，他在1604年出版的天文学的光学部分(Astronomiae Pars Optica)中，设想椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动， 若动点移向无穷远，椭圆成为抛物线；若这个动焦点又出现在定焦点的另一 方，抛物线就变成双曲线；当两焦点合而为一，椭圆变成圆.而双曲线的两 焦点合在一起时，双曲线便退化为两直线.德扎格则采用更为有效的方法 投射取截法来实现二次曲线的连续变化.只要改变截景平面的位置，就可 使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲线.因此，对于圆成立的许多 性质，都可通过取截

16、景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立.这就提供 了一种相当一般的简便方法.从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性.从某点向一图形作 投影线，然后取截景，这就是把原图形变成了新的图形.而原图形中值得研 究的性质是那些变换后保持不变的性质.这种变换思想不仅导致了另一门新 学科仿射几何的诞生，而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧 氏几何时，发现了三种几何的本质联系及从属关系.实际上，射影几何包含 了仿射几何，而仿射几何包含了欧氏几何.不过，射影几何的创始人并未认 识到这一点.后来，当群论产生后，变换群的概念应运而生，成为现代数学 的理论基础之一.虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便，但它的意义远不 止于此.在当时，它由于解析几何的发展而略显失色，甚至