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1、福建师范大学21秋复变函数平时作业一参考答案1. 下列积分不为零的是( ) A-sinxdx B-x2sinxdx C-exdx D-sinxcosxdx下列积分不为零的是()A-sinxdxB-x2sinxdxC-exdxD-sinxcosxdxC2. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_2/5由抽签原理，每个人取得黄球的概率相等，均为2/5，或由全概率公式，也可算得所求概率为2/5(略)3.
2、设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则 F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v) 4. 假设(t，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，试证(t，假设(t
3、，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，试证(t，c1，c2，cn)就是方程(4.57)的通解，这里c1，c2，cn-k，cn为任意常数(t，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)：F(t，y，y，y(n-k)=0的通解，即有 F(t，(n-k)0， 且c1，c2，cn-k是彼此独立的常数而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，即 (k)(t，c1，c2，cn)(t，c1，c2，cn-k) 于是 (t，c1，c2，cn)(t，c1，c2，cn-k)dtdt+cn-k+
4、1tk-1+cn-k+2tk-2+cn， 其中cn-k+1，cn-k+2，cn是彼此独立的常数 将x=(t，c1，c2，cn)代入(4.57)：F(t，x(k)，x(k+1)，x(n)=0中有 F(t，(k)，(k+1)，(n)F(t，(n-k)0， 即(t，c1，c2，cn)是方程(4.57)的解且因c1，c2，cn-k彼此独立，即有 于是 即常数c1，c2，cn-k，cn彼此独立(t，c1，c2，cn)是方程(4.57)的通解 5. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，
5、所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.6. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.7. 设f
6、(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在a，b上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点如果f(x)0，则结论显然成立 如果f(x)0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x2，xN+1(a，b)，x1x2xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反事实上，假设这样的点只有m个，mN，不妨设x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，依此类推令p(x)=(x1-x)(x2-x
7、)(xm-x)，则当x(a，b)时，f(x)p(x)0，且f(x)p(x)0，于是由f(x)p(x)的连续性知 abf(x)p(x)dx0 (1) 另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且mN，所以由题设条件得 abf(x)p(x)dx=0 但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1，2，N+1)的左、右邻域内符号相反故由f(x)的连续性知f(x0)=0 (k=1，2，N+1)于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点 8. 求证方程a1cosxa2cos3xancos(2n1)x=0，在(0，)内至少有一个根，其中实系数a1
8、、a2、an满足求证方程a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0，在(0，/2)内至少有一个根，其中实系数a1、a2、an满足f(k)=0令f(x)=a1sinx+a2sin3x/3+ansin(2n-1)x/(2n-1)f(0)=0f(/2)=a1-a2/3+(-1)n-1an/(2n-1)=0f(x)=a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x又因为f(0)=f(/2)=0根据罗尔定理在(0,/2)内一定存在一点k,使得f(k)=0证毕9. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案：010. 如果m=m1m2,且(m1,m
9、2)=1，有m|xy,则m1|xy,m2|xy.( )如果m=m1m2,且(m1,m2)=1，有m|x-y,则m1|x-y,m2|x-y.( )正确答案： 11. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义： 所以偶函数的导函数为奇函数 法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x) 两边同时对x求导，得 -f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数 类似可以证明可导的奇函数的导函数为偶函数 12. 某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，
10、该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使某保险公司规定，如果在一年内顾客要求理赔事件A发生，该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于的5%，该公司要求顾客交多少保险费?13. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+y2=1与
11、(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。14. 统计资料的整理方法主要有_和_两种。统计资料的整理方法主要有_和_两种。手工整理法$机械整理法15. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正
12、比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,
13、当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本16. 设有方程组，问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?设有方程组5a+3b=r（A/B），问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?线性代数，计算呗，最后我的结果 a0,b1，有唯一解 a1/2,b=1，无解 a=1/2,b=1，无穷多解17. 证明：当n3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系证明：当n3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系正确答案：n=3时结论显然成立因此下设n3rn 由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积从而也就是一些形如rn (ab)(cd)或(ab)(ac)的项之积其中abcd是12n中互异的元素但由于rn (ab)(cd)=(abc)(bcd) (ab)(ac)=(acb)rn故An中的每个元素又都是一些3一循环之积即An由全体3一循环生成n=3时,结论显然成立因此下设n3由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积,从而也就是一些形如(ab)(cd)或(ab)(ac)的项之积其中a,b,c,d是1,2,n中互异的元素但由于(ab)(cd)
