罗氏几何的创立与发展

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1、三国演义第86回写了一个“难张温秦宓逞天辩”的故事。自赤 壁之战以后，蜀吴联盟关系破裂，双方攻城杀将，连年用兵。刘备白帝 城托孤之后，诸葛亮决定与东吴重修旧好，便派邓芝出使东吴，游说孙 权，重新联合抗魏。孙权接受了邓芝的意见，便派谋士张温随同邓芝入 川通好。张温到了成都，受到了蜀国君臣的盛情接待。张温便有点目中无人， 得意忘形起来。在一次宴会上，酒至半酣，忽然有一人醉醺醺地闯进宴 会厅，昂然长揖，入席就座，根本没把张温这位贵宾放在眼里，张温十 分不悦。便问孔明“此何人也？”孔明告诉他，此人乃益州学士秦宓。 张温便讽刺地笑道：“名称学士，未知胸中曾学事否？”秦宓也反 唇相讥。张温便要当堂考试秦宓

2、的学问，秦宓欣然同意，骄傲地说，我 上通天文，下知地理，还怕你考吗？张温笑道，你既然自称懂得天文， 我就用天为题问你几个问题，于是两人便在席间问难起来。张温：“天有头吗？”秦移：“有。诗经上说：乃眷西顾，从这里推断，天不但 有头，而且头在西边。”张温：“天有耳吗？”秦宓：“有。诗经上说：鹤鸣九皋，声闻于天，没有耳怎 能听呢？”张温：“天有脚吗？”秦窗：“有。诗经上说：天步艰难，没有脚怎能走路呢？”接下去张温被弄得面红耳赤，无言可对，只得避席谢罪：“想不到 蜀中多出俊杰，刚才听了先生的宏论，使我顿开茅塞。”读者一定觉得张温与秦宓的问答十分滑稽可笑。秦宓回答问题的根 据，并不是来自对“天”本身的知

3、识，而是以诗经上有没有相应的 诗句为根据的。而张温对秦宓的回答，并不追究其是否真有道理，只要 是诗经上有的就认为正确。因此，秦宓的所谓“天”，只能是建立 在诗经基础上的天，与他所说的天文地理的“天”并没有任何关系。这个有趣的故事使我们联想起数学中的公理法。我们知道，在数学 中为了证明某一定理甲，必须有一些已经被证明了的命题乙为其基础； 同样地，为了证明乙，又必须有另一些前面已证明的命题丙为其基础。 这个过程可以无限地追溯下去。因此，任何一门数学都必须以若干公认 其正确而不要求证明的命题为基础，然后从这些原始命题出发，依次推 出其它的定理，这些原始命题就称为公理。谈到数学的公理化，不能不想到公元

4、前3世纪的古希腊数学家欧几 里得。他系统地整理了前人的几何知识，写了几何原本一书。在书 中他首先提出了一些显而易见其正确性的命题作为公理，然后在这些公 理的基础上，通过演绎推理，由简到繁地推出了一系列前人已知的或未 知的几何定理，内容丰富，论证周密，形成了博大精深的“欧氏几何 学”。几何原本的伟大意义在于，它不仅第一次全面地、系统地总结 了前人的几何知识，而且第一次用公理法建立了数学演绎体系，它的影 响和作用超过了任何一本数学著作。它不仅影响到数学，也影响到其他 科学，今天许多其他科学体系的建立也都采用公理化方法。不过在数学中，公理的选择有很大的任意性，选择不同的公理体系 可以导出不同的数学理

5、论。因此，选择某一数学系统的公理时，通常要 求做到以下三点：(1) 相容性所有的公理不能互相矛盾；(2) 独立性任何一条公理都不能由其余的公理推出；(3) 完备性从这些公理出发，可以按部就班地推出本数学系统 中的全部定理。在几何原本的公理体系中，所有公理都明白易懂，其相容性是 没有问题的。但是其中有一条“平行公理”(在几何原本中称为“第 五公设”)，与其他公理相比显得特别复杂，这条公理是这样说的：“过直线外一点，只能作唯一直线与已知直线平行。”人们对这条公理的“独立性”表示怀疑，认为欧几里得把一个不独 立的命题放进了公理体系，实在是千虑之一失，是他的不朽之作的白壁 微暇。因此，从几何原本问世到

6、19世纪，两千多年中不少数学家 都试图用其他公理去证明“第五公设”，以便将它“从全部公理中清除 出去”。然而，一切的努力都失败了。无数次的失败，使人们产生了逆向思维：如果否定“第五公设”， 会产生什么样的结果呢？这种新的想法，使人们从黑暗中看到了光明， 引起了数学史上的一场革命。这场革命的先驱，是伟大的俄罗斯数学家 罗巴契夫斯基 cn o6 an e b c k U u，1792 1856)。罗巴契夫斯基青年时代也曾企图证明“第五公设”，但他很快就发 现证明是错误的，于是，他改变了自己的研究方法。他建立了一个新的 公理体系，在这个新的体系中，保留了几何原本中除平行公理外的 所有公理，但把平行公

7、理改为与它相反的命题：“过直线外一点可以作两条直线与已知直线平行”。从这一组公理 出发，罗巴契夫斯基得出了一个在逻辑上没有任何矛盾的几何系统，建 立了一种与欧氏几何完全不同的几何学。罗氏称这一新的几何学为“虚 几何学”，现在称为“非欧几何”或“罗氏几何”。在“罗氏几何”中，有许多与“欧氏几何”迥然不同的定理。例如， 在“罗氏几何”中，三角形三内角之和小于180，并且不同的三角形 有不同的内角和；两个三角形只要三个角对应相等就一定全等；不存在 矩形和相似形，等等。1826年2月23日，罗巴契夫斯基在喀山大学公开发表了他的研究 成果。然而，通向真理的道路是曲折的。在当时，不和欧氏几何一致的 任何几

8、何系统，都被认为是谬论。当时最有影响的哲学家康德就认为欧 氏几何的公理是人类思想所固有的，因而在现实空间中具有客观真实 性。罗巴契夫斯基的理论，违背了两千年来的传统思想，动摇了欧氏几 何“神圣不可侵犯的权威”，同时也违背了人们的常识。他的学说一发 表，便遭到了社会上一系列的嘲弄和攻击。许多数学权威称罗氏学说是 “荒唐透顶的伪科学”，即使是一些好心肠的人，也只能对“一个犯错 误的怪人”抱着“宽容和惋惜的态度”。连一些著名的文学家也起来反 对这种“伪科学”，如德国著名诗人歌德就曾在他的名著浮士德中 写道：“有几何兮，名曰非欧，自我嘲笑，莫名其妙！ ”（引自苏步青译文)然而，前途是光明的。罗氏几何要

9、取得合法地位，仅靠能推演出一 系列无矛盾的非欧几何定理是不够的，问题还在于罗氏几何是否也能像 欧氏几何一样，能够描述康德所说的“现实空间”，甚至更好一些。这 就要求人们必须在“现实空间”中找到一个模型，它满足欧氏几何中除平行公理 以外的所有公理，但并不满足平行公理。这样的模型终于被找到了，最 简单的一个模型是由克莱因给出的。克莱因的模型是这样构造的：在这个模型中，把“平面”理解为由 一个半径无限大的圆的内点构成，圆周上的点则一律看作无穷远点。这 个平面称为P平面。圆内的点称为“点”，圆内的弦称为“直线”，“点 在直线上”，“直线通过点”，“两直线相交”等概念与欧氏几何相同。 两条不相交的弦称为

10、平行直线，如图118所示，过C点的直线DE、FG 都与直线AB平行。可以证明，这样定义了点、直线、相交、平行等等 概念之后，它完全满足欧氏几何中除了平行公理之外的所有公理。这个 简单的模型就完全解决了由罗巴契夫斯基学说引起的所有问题，平行公 理不能由欧氏几何中其它公理推出。当代加拿大著名画家爱歇尔 (Escher，18981971 )在1960曾创作了名画“圆周极限图IV”，在那 幅画中所有看来大小不同的天使和魔鬼都是分别相等的。欧氏几何自己提供了非欧几何的模型！并且证明了，欧氏几何与罗 氏几何对于描述我们所在的“现实空间”具有同等的效力，只有在非常 大的范围内才显出差异。一般地说，只要所考虑

11、的范围不太大（例如几 百万平方公里），使用欧氏几何非常方便。但是如果要描述整个宇宙空 间，罗氏几何就更高明一些了。这很像物理学中牛顿的经典力学与爱因 斯坦的相对论的关系。在较小的距离和速度下，牛顿系统和爱因斯坦系 统得出相同结果，然而当涉及非常大的数量时就显出很大的差别了。本帖最后由 7StarsPrince于 2008-1-10 13:17编辑未标题-1.gif （1.51 KB,下载次数：7）国118未标题-1-副本.gif （18.02 KB,下载次数：4）图119爱敏尔的回周极限囹图中黑色的魔鬼和白色的天使嵌满整个P平面。这些黑色魔鬼看起来大小不同，但按P平面，它们是相等的，白 天使也是一样。