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1、第二章直线与平面习题 2、11、求通过两点与得直线方程。解: 直线得方向向量为,所以直线得方程为2、在给定得仿射坐标系中,求下列平面得普通方程与参数方程。(1) 过点 ;(2) 过点与轴 ;(3) 过点与 ,平行于轴 ;(4) 过点 ,平行于平面。解:(1) 平面得方位向量为,所以平面得参数方程平面得普通方程为即(2) 平面得方位向量为 ,所以平面得参数方程因为过轴 ,所以也可选经过得点为 ,那么参数方程也可以写为平面得普通方程为即(3) 平面得方位向量为 ,所以平面得参数方程平面得普通方程为即(4) 平面得方位向量平行于平面 ,方位向量满足 ,因此可以选为。所以平面得参数方程平面得普通方程为
2、即3、在直角坐标系中,求通过点并与平面与均垂直得平面方程。解: 平面得法向量分别就是,所求平面与均垂直,所以它得法向量与均垂直,因此平面得方程为即4、 在直角坐标系中,求经过点 ,垂直于平面得平面方程。解: 设平面得法向量为 ,则它与垂直 ,它又与平面得法向量 ,故所以所求平面得方程为即5、 在直角坐标系中,设平面得方程为,其中。设此平面与三坐标轴分别交于,求三角形得面积与四面体得体积。解: 由于 ,所以平面得三个截距分别为。因此四面体得体积为三角形得面积uuuuuuuruuuuuuur( D ,D ,0)(D,0,D )D 2(111而M1M2M1M3,),ABACBCCAAB所以6、设平面
3、与连接两点与得线段相交于点,且 ,证明。证明 :因为 ,所以由定比分点得坐标公式得到点得坐标将它们代入平面方程中得整理即得。习题 2、21、求经过点 ,并且通过两平面与得交线得平面方程。解: 经过交线得平面束方程为 ,其中不全为零。 所求平面经过点 ,将它代入上式得到 ,可以取 , 因此平面得方程为2、判断下列各对平面得相关位置。(1) 与 ;(2) 与 ;(3) 与。解:(1) 平面得法向量分别就是,它们不共线 ,所以两平面相交。(2) 两平面得系数之比得关系为 ,所以两平面重合。(3) 第二个平面得方程化为 ,所以两平面得系数之比得关系为,所以两平面平行。3、将下列直线得普通方程化为标准方
4、程。(1)(2)解:(1) 方程可写成所以标准方程为(2) 标准方程为4、求通过点且与两平面均平行得直线方程。解: 直线得方向向量与已知两平面均平行,所以得到于就是直线得方程为5、判断下列各对直线得位置。(1);(2)解:(1) 直线经过点 ,方向向量就是 ,直线经过点 ,方向向量就是。混合积所以两直线异面。(2) 直线方程可分别化为经过得点分别就是方向向量分别就是混合积且所以两直线异面且互相垂直。6、求直线与平面得交点。解: 将直线方程代人平面方程得到所以,故交点为。7、求通过直线且与直线平行得平面方程。解: 通过直线得平面方程可设为,由于平面与直线平行,所以 ,即 ,故平面方程为。8、 在
5、直角坐标系中,求直线在平面上得垂直投影直线得方程。解: 垂直投影直线在过直线且垂直于平面得平面中,平面得方程为所以垂直投影直线方程就是9、 在仿射坐标系中,求过直线且在轴与轴上有相同得非零截距得平面方程。解: 通过直线得平面方程可设为 ,由于平面在轴与轴上有相同得非零截距 ,所以 ,即 , 故平面方程为10、在中 ,设分别就是直线上得点,并且。证明三线共点得充要条件就是。证明 :取仿射标架 ,则点得坐标分别就是直线得方程分别为三线共点得充要条件就是得交点在直线上。得交点为 ,将该点得坐标代人直线得方程中化简得到。11、用坐标法证明契维定理 :若三角形得三边依次分割成 ,其中均为正实数 ,则此三
6、角形得顶点与对边分点得连线交于一点。证明 :由于 ,由上题得结论知道三角形得顶点与对边分点得连线交于一点。12、证明 :如果直线与直线交于一点,那么。证明 :由于两直线交于一点,所以方程组有解 ,则齐次方程组有解,由齐次线性方程组有解得条件得到。13、 在直角坐标系中,给定点与 ,直线 ,设各为在上得垂足,求以及得坐标。解: 为向量在直线得方向向量得方向上得分量,故过点作与直线垂直得平面 ,它得方程为 , 过点作与直线垂直得平面 ,它得方程为 ,将直线得参数方程分别代人 ,方程中 ,得所以14、求与三直线都相交得直线所产生得曲面得方程。解: 与三直线都相交得直线设为 ,交点可设为 ,由于三点共
7、线 ,所以 ,即有。直线得方程 ,即消去得到直线构成得曲面方程15、证明 :包含直线 ,且平行于直线得平面方程为。若就是之间得距离,证明。证明 :包含直线得平面方程可设为 ,它得法向量为 , 它又与直线平行 ,此直线得方向向量就是,所以 ,得到 ,于就是平面方程为。直线得方向向量就是,经过点。直线经过点,所以两直线得距离为,因此 ,故。习题 2、31、在直角坐标系下,求下列直线方程。(1) 过点且垂直于平面 ;(2) 过点且与三坐标轴夹角相等。解:(1) 直线得方向向量就是平面得法向量,所以直线得方程为(2) 设直线得方向向量就是,由于直线与三坐标轴得夹角相等,所以于就是。因此直线有4条,方程
8、为,。2、 在直角坐标系中,求平面与面得夹角。解: 平面得法向量为 ,面得法向量为 ,所以夹角得余弦为 ,夹角为或3、求到两个给定平面得距离成定比得点得轨迹。解 :设点到两平面得距离之比为。如果两平面平行,则选直角坐标系使得其中一个平面为面,另一个平面得方程为,于就是 ,当时 ,得。当时 ,得如果两平面相交,则选两平面得角平分面为两坐标面与,则两平面得方程可设为,于就是即4、证明 :空间中满足条件得点位于中心在原点,顶点在坐标轴上,且顶点与中心距离为得八面体得内部。证明 :条件等价于八个不等式:,这些点对于平面来说都在负侧,即包含原点得那一侧。故它们位于由八个平面构成顶点在坐标轴上,且顶点与中
9、心距离为得八面体得内部。5、在仿射坐标系中,设 ,都不在平面上,且。证明 : 与在平面得同侧得充分必要条件就是与同号。证明 :(1)与平面平行得充要条件就是即与同号。(2) 如果与平面不平行 ,则设直线与平面相交于点 ,且。因而与在平面得同侧得充分必要条件就是。因为,所以与同号。6、 在直角坐标系中,求与平面平行且与它得距离为得平面方程。解: 设点到平面得距离为,则因而所求平面得方程为7、求点到直线得距离。解: 直线方程得标准形式为所以直线经过点,方向向量为 ,则 ,点到直线得距离为8、求下列各对直线之间得距离。(1)(2)(3)解 :(1)两直线分别经过点 ,方向向量分别就是 ,因此两直线平
10、行 ,它们得距离为一直线得某点到另一直线得距离 ,所以 ,它们得距离为(2) 两直线分别经过点 ,方向向量分别就是 , ,所以它们异面 ,它们得距离为(3) 两直线方程得标准形式可写为两直线分别经过点 ,方向向量分别就是 ,不平行 ,所以它们相交 ,它们得距离为0。9、求下列各对直线得公垂线得方程。(1) 与(3) 与解:(1) 两直线得方向向量就是 ,所以公垂线得方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行得平面上,平面法向量就是 ,所以该平面方程就是。公垂线又在过直线且与向量平行得平面上 ,平面法向量就是 ,所以该平面方程就是 ,因此公垂线得方程就是(2) 两直线方程得标准形式可为,所以公垂线得
11、方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行得平面上,平面法向量就是,所以该平面方程就是。公垂线又在过直线 ,且与向量平行得平面上 ,平面法向量就是 ,所以该平面方程就是 ,因此公垂线得方程就是10、求下列各对直线得夹角。(1)(2)解:(1) 两直线得方向向量就是 ,所以夹角满足因此夹角为。(2) 两直线得方向向量就是 ,所以夹角满足因此夹角为或11、求下列直线与平面得夹角。(1)(2)解:(1) 直线得方向向量为,平面得法向量为,则 ,所以夹角满足因此夹角(2) 直线得方向向量为 ,平面得法向量为 ,则 ,所以夹角满足因此夹角12、已知两条异面直线与 ,证明 :连接上任一点与上任一点得线段得中点
12、轨迹就是公垂线段得垂直平分面。证明 :以公垂线为轴 ,过公垂线段得中点与公垂线垂直得平面为面,两异面直线在面上得投影直线得角平分线为轴与轴建立空间直角坐标系。 则两异面直线得方程可设为与其中就是两直线得距离 ,。现在从两直线上分别任取一点,则它们得中点满足,这就是公垂线段得垂直平分面得参数方程,所以中点轨迹就是公垂线段得垂直平分面。13、设在直角坐标系中,平面与得方程分别为与求由与构成得二面角得角平分面得方程,在此二面角内有点。解: 角平分面上得点到两平面得距离相等,所以,由于该二面角内有点 ,且 ,所以在得负侧 ,在得正侧 ,因此角平分面上得点在得负侧 , 在得正侧 , 或在得正侧 ,在得负侧 ,所以角平分面上得点满足 ,整理得到14、证明 :两异面直线 ,得公垂线段得长度就就是,之间得距离。证明 :以公垂线为轴 ,过公垂线段得中点与公垂线垂直得平面为面,两异面直线在面上得投影直线得角平分线为轴与轴建立空间直角坐标系。 则两异面直线得方程可设为与其中就是两直线得距离即公垂线段得长度 ,。现在从两直线上分别任取一点,两点距离为即公垂线段得长度就是最小得,因此两异面直线,得公垂线段得长度就就是,之间得距离。
