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1、矢量分析与场论习题11 写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。1 x a cost, y bsi nt2 x3sin t, y 4sin t,z 3cos t解： 1 r a costi bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面2 2 2x z 3之交线，为一椭圆。4求曲线 x t, y t2,z2t3的一个切向单位矢量3解：曲线的矢量方程为 rti t2j 2t3k3dr则其切向矢量为idt2tj 2t2k模为旳八t2424t 1 2t于是切向单位矢量为drdt/|di 2tj 2t2k21
2、 2t226 .求曲线 xa sin t, ya sin 2t, z a cost,在t处的一个切向矢量。4解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tj acostkdr切向矢量为dtasi n2ti2acos2j asintk在t 处，d raia k4d tt T27.求曲线xt21,y 4t3,z 2t2 6t在对应于t 2的点M处的切线方程和法平面方程。2 2解：由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r (t 1)i(4t3)j(2t6t)k,在t 2的点M处，切向矢量dr亠 2ti 4j (4t6)kt2 4i 4.dt t 2于是切线方程为口 -J即口442221于是
3、法平面方程为 2(x5)2( y 5) (z 4)0,即2x 2y z 160&求曲线r ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y2k1111dr2解：曲线切向矢量为i 2tj 3t k，dt平面的法矢量为n i 2j k，由题知n i 2tj3t2ki 2j k1 4t 3t2011111得t 1, 一。将此依次代入式，得3|t 1ij k, |!1 .1 .1 ,ijkt339271 1 1故所求点为1,11 , 一，一，一3 927习题21 说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。1Ax By Cz D1111解：1场所在的空间区域是除 Ax By Cz D
4、 0外的空间。等值面为1111Ax By Cz DC1 或 Ax By Cz DC10( C10为任意常数)这是与平11面Ax By Cz D 0平行的空间。2场所在的空间区域是除原点以外的2 2 2z x y的点所组成的空间部分。等值面为 z2 (x2 y2)sin2c, (x2 y20)，当sin c 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)当sin c 0时，是除原点外的xOy平面。2 2x y2求数量场u经过点M 1,1,2的等值面方程。z解：经过点 M 1,1,2等值面方程为12 122 2x y uz即z x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。3.已知数量场u xy，求场中与直
5、线 x 2 y 4 0相切的等值线方程。 解：设切点为 x0, y0 ，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为 k 匹 1，即 X。 2y0X。2点X0,y在所给直线上，有X。2y 40解之得y01,x02故xy 24.求矢量A xy2i x2yj zy2k的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为A dr 0,或 dx dy dz或 2-22xy x y zy厶dxdz有 xdxydy , .x z2 2x解之得zy C1,（C1,C2为任意常数）C2x5.求矢量场22A x i y j (x y)zk通过点M (2,1,1)的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为dx2xdy2ydz(
6、x y)zdxdy2yCi ,按等比定理有d （:y）x ydz ,即d(x y)兰解得x(x y)z x y zy c 2Z.故矢量线方程为Ci，又 M (2,1,1)求得 c1,C2x y C2Z丄丄 1故所求矢量线方程为x y 2.x y z习题31.求数量场ux2z3 2 y2z在点M向导数。2xi x2 . y j3z4k4iM解：因1M43cos一, cos0, cos55在点M (2,0,1）处有u2xz34, uxy u43所以?( 4)0?0一 ?124l552.求数量场u 3x2z xy z2在点M 12,0, 1 处沿 I 2xi xy2j 3z4k 的方3k ,其方向余
7、弦为4yz 0,3x2z2 2y212,z231,1处沿曲线x t, y t ,z t朝t曲线上点增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。M所对应的参数为t 1 ,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx1,dy2tdTMdtMt 1其方向余弦为cos3t23.解:114,cos2,cos.14(6xz y)M7,_xM1,-uMyMz.14M于是所求方向导数为又-x(上 cosx求数量场0时,graduM(2xyz3i(3x22z)u cosyu cosz1、141)214 5324.14、14x2 yz3 在点grad u l0方向导
8、数最大。(巴xM 2,1,grad u3x2yz2k即函数u沿梯度grad u4i 4j1处沿哪个方向的方向导数最大?cos ,4i 4j 12k,12k方向的方向导数最大最大值为grad u.176 4.11 o一 1 24.画出平面场u (X2M 1 (2,、2)与点1 3y2)中u 0, ,1, ,2的等值线，并画出场在2 2M2(3, .7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1 )梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。2 x2y0,x22y1,解：所述等值线的方程为：2 x2y2,x22y3,其中第一个又可以写为
9、2 x2y4,x y 0, x y 0 为:直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线（如下图，图中 GigraduM，G2 grad u M2，）由于 grad u xi yj,故grad% 2i 间，grad u M2 3i 7 j,由图可见，其图形都符合所论之事实。5用以下二法求数量场 u xy yz zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。直接应用方向导数公式;作为梯度在该方向上的投影。解:点P的矢径i 2j3k,其模r J14.其方向余弦为cos114,COS214,COSI.又(yz)p5,(xz)pu4,z(x y)所以I(-cosxu cosyu coszgrad(丄i
10、x3-1422-145i4j 3k,1212k.14grad u P ?41422。3.4.14126，求数量场Ux2 2y2 3z2xy 3x 2y 6z 在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0?grad uO 3i 2j6k,grad uA6i3j0k,其模依次为：32 ( 2)2(6)27&623202于是grad uO的方向余弦为cos3,cos2,cos6777grad uA的方向余弦为COS2J5,cos1T5,cos0.2x y30,求使grad u0之点，即求坐标满足4y x20,之点，由此解得解：grad u ( 2xy 3
11、)i (4y x2)j(6z 6)k,6z 60x 2, y 1, z 1故所求之点为(2,1,1).7.通过梯度求曲面 x2 y 2xz4上一点M(1, 2,3)处的法线方程。6，求数量场Ux2 2y2 3z2xy 3x 2y 6z 在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)6，求数量场Ux2 2y2 3z2xy 3x 2y 6z 在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)2解：所给曲面可视为数量场u x y 2xz的一等值面，因此，场 u在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即grad u(2xy2z)i x2xk2i2k,故所求的法线方程为习题41.设S为上半球面x22y2z a2(z0),求矢量场rxiyjzk向上穿过S的通量。【提示：注意 S的法矢量n与r同指向】解：r dSrndSrdS adSa2 a22 a3.SSSS2.设S为曲面x2 y22 za2(0zh),求流速场v(xyz)k在单位时间下侧穿S的流量Q。2 2解：Q (x y z)dxdy (x y x y )dxdy 其中 d为 s在 xOy 面上的SD投影区域：x2 y2 h.用极坐标计算，有 Q(rcosDrsi nr2)rdrd2h
