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1、高考数学精品复习资料 2019.5概率【高考考情解读】1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点,选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主,试题难度较小,易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质,如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查,试题难度不大,易于得满分.3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查,涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验,试题难度中等,考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力1 概率的五个基本性质(1)随机事件A的概率:0P(A)1.(2)必然事件的概
2、率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)如果事件A与事件B互斥,则P(AB)P(A)P(B)(5)如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(AB)P(A)P(B)1,即P(A)1P(B)2 两种常见的概型(1)古典概型特点:有限性,等可能性概率公式:P(A).(2)几何概型特点:无限性,等可能性概率公式:P(A).考点一古典概型例1(20xx山东)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人
3、,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6个设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M,其包括的事件有3个,故P(M).(2)从小组5名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10个设“选到的2人的身高都在
4、1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)”为事件N,且事件N包括事件有:(C,D),(C,E),(D,E)共3个则P(N). 求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意;(2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件;(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m;(4)计算事件A的概率P(A). (1)(20xx安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球从球中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于()A. B.C. D.答案B解析利用古典概型求解设袋中红球用a表示,2个白球分别用b1,b2表示,
5、3个黑球分别用c1,c2,c3表示,则从袋中任取两球所含基本事件为:(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15个两球颜色为一白一黑的基本事件有:(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共6个其概率为.故选B.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b1,2,3,4,5,6,若
6、|ab|1,就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为()A. B.C. D.答案D解析根据题目条件知所有的数组(a,b)共有6236组,而满足条件|ab|1的数组(a,b)有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),共有16组,根据古典概型的概率公式知所求的概率为P.故选D.(3)盒中有6个小球,其中3个白球,记为a1,a2,a3,2个红球,记为b1,b2,1个黑球,记为c1,除了颜色和编号外,球没有任何区别求从盒
7、中取一球是红球的概率;从盒中取一球,记下颜色后放回,再取一球,记下颜色,若取白球得1分,取红球得2分,取黑球得3分,求两次取球得分之和为5分的概率解所有基本事件为:a1,a2,a3,b1,b2,c1共计6种记“从盒中取一球是红球”为事件A,事件A包含的基本事件为:b1,b2,P(A).从盒中取一球是红球的概率为.记“两次取球得分之和为5分”为事件B,总事件包含的基本事件为:(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a3,a1),(a3,a2),
8、(a3,a3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,b1),(b1,b2),(b1,c1),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,b1),(b2,b2),(b2,c1),(c1,a1),(c1,a2),(c1,a3),(c1,b1),(c1,b2),(c1,c1),共计36种而事件B包含的基本事件为:(b1,c1),(b2,c1),(c1,b1),(c1,b2),共计4种P(B).“两次取球得分之和为5分”的概率为.考点二几何概型例2(20xx四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次
9、闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.答案C解析设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y,x、y相互独立,由题意可知,如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|xy|2). 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解;利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域 (1)在区间0,2上任取两个实数a,b,则函
10、数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率是()A. B.C. D.(2)(20xx湖北)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A1 B.C. D.答案(1)D(2)A解析(1)因为f(x)3x2a,由于a0,故f(x)0恒成立,故函数f(x)在1,1上单调递增,故函数f(x)在区间1,1上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a,b),则基本事件所在的区域是画出平面区域,如图所示,根据几何概型的意义,所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值,这个比值是.故选D.(2)方法
11、一解题关键是求出空白部分的面积,用几何概型求解设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C,OA的中点为D,如图,连接OC,DC.不妨令OAOB2,则ODDADC1.来源:在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S1111,所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22,所以阴影部分面积为S32.所以P1.方法二连接AB,由S弓形ACS弓形BCS弓形OC可求出空白部分面积设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C,令OA2.由题意知CAB且S弓形ACS弓形BCS弓形OC,所以S空白SOAB222.又因为S扇形OAB22,所以S阴影2.来源:所以P1.考点三互斥事件与对立事件例3某项活动的一
12、组志愿者全部通晓中文,并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)已知从中任抽一人,其通晓中文和英语的概率为,通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人(1)求这组志愿者的人数;(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名,通晓韩语的志愿者1名,若甲通晓英语,乙通晓韩语,求甲和乙不全被选中的概率解(1)设通晓中文和英语的人数为x,通晓中文和日语的人数为y,通晓中文和韩语的人数为z,且x,y,zN*,则解得所以这组志愿者的人数为53210.(2)设通晓中文和英语的人为A1,A2,A3,A4,A5,甲为A1,通晓中文和韩语的人为B1,B2,乙为B1,则从这
13、组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(A5,B1),(A5,B2),共10种,同时选中甲、乙的只有(A1,B1)1种所以甲和乙不全被选中的概率为1.求解互斥事件、对立事件的概率问题时,一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件,还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率;三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率(20xx江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为:以O为起点,再从A1、A2、A3、
14、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X0就去打球,若X0就去唱歌,若X0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解(1)X的所有可能取值为2,1,0,1.(2)数量积为2的有5,共1种;数量积为1的有,共6种;数量积为0的有,共4种;数量积为1的有,共4种故所有可能的情况共有15种所以小波去下棋的概率为P1;因为去唱歌的概率为P2,所以小波不去唱歌的概率为P1P21.来源:1 互斥事件与对立事件的关系(1)对立一定互斥,互斥未必对立;(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和,再利用公式P(AB)P(A)P(B)来求,也可通过对立事件公式P()1P(A)来求P(A)2古典概型与几