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1、灰色控制PID控制算法PID控制算法即比例积分微分控制算法，该算法简单、鲁棒性好、可靠性高，在工业控 制中应用广泛，尤其适用于建立精确数学模型的控制系统。但是对于非线性、时变不确定和 大时滞对象、难以建立准确数学模型时，PID控制算法的控制品质不时很高，尤其是以误差 作为基本调节项，微分作用只在系统出现明显偏差时起作用，属事后控制，故不能很好地抑 制系统的超调。而灰色PID控制算法，以灰色系统理论为基础，对系统不确定部分建立灰色 模型，进行灰色预估补偿，使控制系统的灰量得到一定程度的白化，可以提高PID控制质量 及其鲁棒性。1、 灰色预测原理 信息完全明确的系统称白色系统。信息完全不明确的系统
2、称黑色系统。信息中部分明 确、部分不明确的系统称灰色系统。灰色系统的方法是对系统进行分析、建模、预测、决策、 规划、控制的有效方法。灰色预测是用灰色模型GM(M,N)进行定量预测，灰色控制是指本征特性灰色系统的控制，或对系统中含灰参数的控制，或用GM(M,N)构成的预测控 制。11 灰色生成数列 灰色理论对灰量、灰过程的处理，不是找概率分布求统计规律；而是用生成的方法，求 得随机性弱化和规律性强化的新数列数据，称为生成数；利用生成数建模是其重要特点之一。 灰色生成可分为累加生成、累减生成、初值化生成、均值化生成、归一化生成等多种。(1) 累加生成( AGO-Accumulated Genera
3、ting Operation )对某原始数列处理，第一个数据不变，仍为新数列的第一个数据；新数列的第二个数据 是原始的第一与第二个数据相加；新数列的第三个数据是原始的第一、第二与第三个相加； 依此类推。这样累加生成新数列的处理方式称累加生成。累加生成能使非负数列(摆动的或 非摆动的)转化为非减的递增的数列。基本公式x(D (k )= x()(i)(1)i=0X(r) (k)= X(r) (k 一 1)+ X(rT) (k )(2)没有规律的原始数据，经过累加生成后，如果能够得到较强的规律，并且接近某一函数， 则该函数成为生成函数。生成函数就是一中模型，称为生成模型。通过累加获得的模型称为 累加
4、生成模型。(2) 累减生成( IAGO-Inverse Accumulated Generating Operation )累减生成是将原始数列前后两个数据相减生成数据。累减生成是累加生成的逆运算累减 运算可将累加生成还原为原始数列，可在建模过程中获得增量信息。基本公式a(i)a(2)(x (r ) (k)= x(r-1) (k) Cr) (k)= x(r-2) (k) a(i)(x (r) (k)= x(r-1) (k)a (r)Cr) (k)= x(o) (k)换算公式x(o)(k )= x(1) (k )-x(1) (k )(4 )x (r-1) (k )= x (r) (k )-x (
5、r) (k - 1)12 GM 灰色模型 (Grey Model)一般建模是用数据列建立差分方程：灰色建模是用原始数据列做生成后建立微分方程， 好处是通过数据生成方式使原始数据列弱化被噪音污染的随机性，从而发现蕴含在原始数据 列中的规律。系统被噪声污染后，原始数列呈现离乱情况的数列即为灰色数列或灰色过程， 对灰色过程建立的模型称为灰色模型。GM(M,N)4灰色模型为M阶N个变量的微分方程，不同的M与N的GM模型，有 着不同的意义和用途，要求不同的数据。例如GM (0,N )模型不含导数，为静态模型，其形 虽如多元线性回归模型，但与一般的多元线性回归模型有着本质的区别；一般的多元线性回 归建模以
6、原始数据列为基础，但GM(0,N)的建模基础则是原始数据列的一次累加生成 (1-AG0)序列。设x(0)为系统特征数据序列，x(0)(i = 1,2,3 ,N)为相关因素序列，x(1)为iii诸 x(0)(i = 1,2,3 ,n)的 1-AGO 序列，则称 x(1) = b + b()x + b) 1x + 为aii 2 23 3N NGM (0,N )的模型。2、灰色 PID 控制+2.1.1灰色PID控制的理论基础 灰色系统理论是处理不确定量的有效途径。它需要信息少，通用性好，计算方便。采用 灰色系统的方法，对于不确定部分建立灰色模型，利用它来使控制系统中的灰量得到一定程 度的白化，以提
7、高控制质量及其鲁棒性。设系统不确定部分符合匹配条件，即为bD(x,t)包括两部分：一部分与状态x成比例，部分与状态无关，具体可描述为式中D (x, t ) = V x + V x +11 2 2 n +1。设 D ,f(1), x(1) (i = 1,2, n )为 D(0), f(o), x(0)(i = 1,2, n )的累加生成数列。ii将下述关系.D(1) (x, t ) = Vx(1)+ V x(1) + + V x (1) + f (1)(14)1 12 2n n称为不确定部分D (x, t)的灰色模型。对于慢时变干扰部分，可认为f (1)(1)=f (1)口 ff(i)(2)=
8、2f (1)口 2ff(i)(N)= Nf (1)口 (N)fAV T =AAVAVAAAVAfT(1 2n丿记数据矩阵为 -x(1)(2 )x(1)(2)1x (1)(3)x：1)(3)2B=1 n x(1)(N )1x(1)(N )1N1采用最小二乘法，若(btb )可逆,则有记参数列为诒= (BtBL BtD(1)其中，D(1)D(1) = (D(1) (1) D(1) (2)将累加值还原，可得(5)式得估计模型.D (k) = x (k)+V x (k)+ + V x (k)+ f1 1 2 2 n n2. 1. 2连续系统灰色PID控制.考虑由下列N个非线性不确定子系统组成的复合非线
9、性不确定系统:x = Ax(t)+bu(t)+bD(x,t)D (x, t )= x (t) Ax (t)bu (t)/ b(16 )(17)(18)(19)(20)(21)(22)式中，x G Rn，u G R，A 为nXn维矩阵，D(x,t)g R，b 为 n 维列向量。bD(x,t)代表系统满足匹配条件的不确定部分，包括参数不确定(与状态x成比例)和外干扰(与状 态 x 无关)。D(x,t)=Vx +V x + +V x + f (t)(23)1 12 2 n n不确定部分的D (x, t)无法直接测量，可由测量数据间接计算估出。离散化为D (x, k )=丄 x (k )一 Ax (k
10、 )一 bu (k )(24)b l丿式中，t = kT , T为采样时间。灰色PID控制算法的步骤为：(1)第一步：采用PID控制，在控制器启动过程中，首先采用灰色估计器对不确定部分(25)的模型参数建立GM(0,N)模型进行估计，其中PID控制算法为：u = u(t)= k e(k)+ k 才 e(k)T + k de(k) ppidk=1用灰色估计器对不确定部分的模型参数建立GM(0, N )模型的具体算法为:1)建立原始离散数列x(0)(k)，其中 i = 1,2,n ； k = 1,2,N ； N n；ix(x()(N )2x(o) = C 0 (1) x( b(2)x() (N J
11、，x (0) = (x( 0) (1) x( )0(2)2 2 2x (o)= ( d(1) x( b(2 )nnn2)计算一次累加生成(1 - AGO )数列，其中:x(1)= x(1)(1) x(1)(2)x (1) = (1)(1) x(1)(2)x(1)2 2 2i = 1,2, n ； k = 1,2, N ； N n ；x (1)(N )1 (N)2x(1)= x (1)(1) x (1)(2)nnn3)计算数据矩阵B，其BtB必须可逆(即detx(1)(N )ndet(BTB)s 0)；若不可逆，则应适应增加N，直到BtB可逆。x(1) (2 )x (1)(3)1x(1) (2)
12、x(1)(3)nx(1)(N)1x(1)(N)nD (o)D( b(2 )5)计算(1 - AGO)离散数列 D(i)(k), k = 1,2, N 。D(i)(k)F D(o)(l)D(1)l=o,D(i)6)估计不确定部分bD(x,t)的灰色模型D(1)(x,t)的参数向量VT。D(i) (x, t ) = Vx(i) + V x (i) + V x(i) + f (i)1 1 2 2 n n诒=(BtBBtD(i)，VT = V Vi2(2)第二步：按估计参数加上补偿控制，估计器停止工作，灰色PID控制算法为:u = u + u。 pc其中： uc x + fi ii=i2.i.3 仿真程序及实例 仿真对象为：G(s)i60s (s + 35 )将该传递函数转化为状态方程的形式：x. = Ax+bu +bD(x,t)01 一0 -A=， b=_0-25_160 _式中，对象为二阶传递函数，迭代次数可选N n +1，故可取N=3。外加干扰取D(x,t) = Vx + Vx + f，取干扰参数 V = 5,5,5，k =-35，k = 0，i i 2 2
