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1、课时跟踪检测（五十六） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1B2C1D0解析：选B由题意知2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2.2中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是()A.1B.1C.1D.1解析：选C由题设知c5，设椭圆方程为1，联立方程消去y，整理得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，由根与系数的关系得x1x21，解得a275，所以椭圆方程为1.3斜率为1的直线l与椭圆y2
2、1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2B.C.D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2| ，当t0时，|AB|max.4设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4B.3C2D1解析：选D()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn(mn)2m2n24，mn2，mn1.5.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆
3、C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若k，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C由题意可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k，所以，化简可得，从而可得e，选C.6已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.答案：17过点M(2,0)的直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直
4、线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_解析：过点M(2,0)的直线m的方程为y0k1(x2)，代入椭圆方程化简得(2k1)x28kx8k20，所以x1x2，所以点P，直线OP的斜率k2，所以k1k2.答案：8(2019广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线yx的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_解析：设椭圆方程为1(ab0)，由题意可知c1，即a2b21，设点F(1,0)关于直线yx的对称点为(m，n)，可得2.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线yx上，所以有，联立，解得即对称点为，代入椭圆方程可得1，联立，解得a2
5、，b2，所以椭圆方程为1.答案：19(2019长春监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解：(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.10(2018成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
6、(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程解：(1)由题可知c，2，a2b2c2，a2，b1.椭圆C的方程为y21.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去x可得(4m2)y22my30.16m2480，y1y2，y1y2.点B在以MN为直径的圆上，0.(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，(m21)(m1)20，整理，得3m22m
7、50，解得m1或m.直线l的方程为xy10或3x5y30.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知点P是椭圆1(x0，y0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的平分线上一点，且0，则|的取值范围是()A0,3)B(0,2)C2，3)D(0,4解析：选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.0，.又MP为F1PF2的平分线，|PF1|PG|，且M为F1G的中点O为F1F2的中点，OM綊F2G.|F2G|PF2|PG|PF1|PF2|，|2a2|PF2|4|PF2|.42|PF2|4或4|PF2|42，|(0,2)2已知椭圆M：y21，圆C：x2y26
8、a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为()A(1,6)B.(1,5)C(3,6)D(3,5)解析：选D由于椭圆M：y21，圆C：x2y26a2在第一象限有公共点P，所以解得3a25.设椭圆M：y21与圆C：x2y26a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为y0y1，圆C在P处的切线方程为x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)3.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取
9、值范围为_ 解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，即b2ac，则a2c2ac，故210，即e2e10，解得e或e，又0e1，所以e1.答案：4已知椭圆1(ab0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2ax1x22a，则2a，即，所以e21.又0e1，所以e1.答案：(二)难点专练适情自主选5(2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两
10、端点C，D分别在x轴，y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲
11、线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|AB|x1x2|，原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.6(2018成都一诊)已知椭圆1的右焦点为F，设直线l：x5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl.解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)(1)直线l1的倾斜角为，斜率k1.直线l1的方程为yx1.代入椭圆方程，可得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB| .(2)证明：设直线l1的方程为yk(x1)代入椭圆方程，得(45k2)x210k2x5k2200.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设N(5，y0)，A，M，N三点共线，y0.而y0y2y2k(x21)0.直线BNx轴，即BNl.
