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1、公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a b ) 2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差数列公式 Sn = = a1 + n = + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 ab + b2 )6. 立方差公式: a3 b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n28. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1)9. 多数平
2、方和公式: 12 + 22 + 32 + + n2 = 10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + + n)211. 特种公式: 12 + 23 + 34 + + n(n+1) = 12 + 22 + 32 + + n2 + 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1)(n+2)与因数相关的知识 1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。2. 因数和：设A2a3b5c 那么因数和（20+21+2a）（30+31+3b）（50+51+5c）3. 因数积：设A2a3b5c 那么因数积A因数个数/2(完全平方数除外)4. 因数倒数和：设A2a
3、3b5c 那么 + + = 1循环小数747： 0.142857 0.285714582 0.428571 0.571428 0.714285 0.85714213：0.076923 0.153846835164329670 0.230769 0.384615 0.307692 0.461538 0.692307 0.538461 0.769230 0.615384 0.923076 0.846153排列组合进阶 排列是先选再排，组合是只选不排。=(n里选m个的数量和n里(n-m)个不选的数量是一样的)=1（一个不选和全部都选只有一种情况）+2n(每个元素有选中和不选中两种情况)常用方法：1.
4、 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也要排序，然后两个数乘积即可。3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个空位再选多少个元素去插空即可。4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C计算即可。6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去
5、反向，可得正向解。余数a b = m .n (0nb)推论1： m为(a b)的整数部分,而n为(a b)的小数部分的b倍。推论2： 当a、b同时扩大k倍，则商值m不变，余数n扩大k倍。推论3： （a, b）= （b, r） 最大公因数相等，辗转相除求最大公因。余数性质：1. 周期性。2. 余数的和等于和的余数。3 余数的差等于差的余数。 虞姬每周拿着鱼叉去鱼河抓鱼。4. 余数的积等于积的余数。物不知数（中国剩余定理）1. 减同余：如果一个数除以不同的数余数相同，则只需求出除数的最小公倍数，再加上余数，即为最小的被除数。 例：A3余1， A5余1，问A最小多少？ 解：3和5的最小公倍数为15，
6、15+116，A最小值为16.2. 加同补：如果一个数除以几个不同的数，余数分别与除数互补，则只需求出除数的最小公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。 例：A7余6 A6余5，A5余4， A4余3，求A最小多少？ 解：余数与除数互补，7，6，5，4420，4201419，A最小为419.3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40 分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小
7、的被除数。 例：A7余5 A6余3，求A最小多少？ 解：设A7K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）6余3，得7K6余4 当K4时，满足。即A=7K+533，通式为A=33+42K同余定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B 对于模m同余。表示为 AB（mod m）读作：“A同余于B，模m ”推论1：若AB，AmX.n BmY.n 那么，A-B（X-Y）m; m能整除A、B的差, m(A-B).推论：若AB（mod m），BC（mod m）那么，AC（mod m）；推论：若AB（mod m），CD（mod m）那么，（AC）（BD）（mod m）；ACB
8、D（mod m）推论4： 若AB（mod m），那么AnBn（mod m）分数比较大小手段一：十字相乘法 即代表左边，手段二：作差 AB0 AB AB0 AB手段三：作商 1 AB 1 AB手段四：取倒数 AB AB 手段五：化小数手段六：基准法 真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大 假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）在之间比较大小，先将变为，分子与分母差都为5，真分数，则手段八：糖水法 （糖水的甜度 模型一：
9、 (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二： (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间) 模型三： 有趣的巧数1. 33333311108889 n个3 n个3 n1个1 n1个8 推论：6666666644435556，9999999999980001，3333666622217778 3333999933326667，66669999666533342. 3333334111222 n个3 n1个3 n个1 n个2 推论：6666333422224444，99993334333366663. 111337 100017337 2007322239992737 1
10、0101371337 2008232511111127141 199535719 201551331 11111137111337 199823337 201625374. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。 如：53573021，84867224，393112095. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算 如：782802-（802782）6400-（80+78）26400-3166084 762752+（762752）5625+（76+75）5625+15157766. 12345
11、67898+99876543217. M999的数字和为9K.（其中M999） K个98. （+ +）（+）（+ + +）+ 两项乘积两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为： （有头无尾小龙）（无头有尾小龙）小龙（无头无尾小龙） 则结果为头尾相乘。9. 12 + 23 + n(n+1) 1a1 + 2a2 + nan n(n+1)(2an+a1),a1,a2an为等差数列分数的分解设 + ，则得出： + 所以：（A+m）(A+n)A(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn2A2+(m+n)A可得：A2mn解题思路：只需将分母平方后分解质因数，找到一对质因数后，分别加上原分母作为等式右边的两个分母。例：将拆分成若干个分数单位的和。解：12的平方144，而1441144272436818所以 + + + + 要拆分成三个式子相加如何做？先拆成两个，再将其中一个拆成两个即可。最值问题（1）两数和一定，则两数差越小，乘积越大，两数差越大，乘积越小。（2）两数积一定，则两数差越小，加和越小，两数差越大，加和越大。（3）多3少2不拆1原则。例：14拆成几个自然数的积，求积最大值？+
