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1、降落伞的选择问题一， 问题的提出与重述1.1问题提出在物资救援中,空投已经成为一种十分重要且便利的方式,由于降落伞难以多次 利用,所以如何减少空投的成本,让人们有更多的资金购买救援物资已经成为了 一个不可忽视的课题。1.2问题重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度过500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面, 用每根长l共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用 C1 由伞的半径 r 决定，；绳索费 用C2由绳索总长度及单价6元/米决定；固定费用C3为400元。降落伞在降落 过程
2、中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定 阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得 各时刻t的高度x。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多 大（在表 1 中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。二，问题分析本文主要解决的是在满足空投要求下的降落伞的选择问题，是典型的优化问 题，通过对题目的分析可以进一步确定是整数线性规划问题。本题所建的模型的 目标函数比较简单，主要是约束条件，而在约束条件中每种降落伞的最大载重质 量又与空气阻力系数是有一定的量化关系的，因此此模型的关键在于求空气阻力 系数。三，模型假设1
3、 降落伞和绳索的质量均不计;2 救灾物资的大小不计,可以看作质点处理;3降落伞下落的初速度为 0;4救灾物资可以任意分割.四，变量及符号说明第i种降落伞：半径: r ,伞面费用: w ;所需绳索长: l ;绳索费用:6 l ;i i i i 最大载重质量： m ;费用： C ;选用的个数： x.i i i总的费用：Z.空气阻力系数:k.重力加速度:g (取9.8m / s2).五，模型建立与求解由载重 m 位于球心正下方球面处可知：绳索与竖直方向的夹角为 45 度。 每种降落伞的费用由三部分组成，所以第i种降落伞的费用为：C = w + 61 + 400 = w + 96迈r + 400，又每
4、种降落伞选用的个数为x，illiii目标函数为Z = f xC ,(i=l,2,3,4,5).ii1=736.529x + 909.411x + 1157.294x + 1535.176x + 1943.058x12345约束条件为： mx + m x + m x + m x + m x 20001 12 23 34 45 5此问题的关键在于求每种降落伞的最大载重质量 m 。而最大载重质量与空气阻 i力系数k有关，归根结底，想要求得目标函数的最优解必须先得求出空气阻力系 数 k 的值。一求解空气阻力系数 k。对物体做受力分析，物体受重力mg和空气阻力f，mg物体在这两个力的作用下以初速度v二0
5、m/s, (1)向下运动，由牛顿第二定律知:0a 二 mgz!，(2)又题中知，降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积 的乘积成正比，所以， f 二 2kn r2v (3)又由牛顿第二定律的微分形式得：a二普由(1) (2) (3) (4)得：Qdv2k兀 r 2v=g dtmv(0) = 0应用MATLAB可求得此微分方程: syms g m k pi r v;v二dsolve(Dv二g-2*k*pi*r2*v/m,v(O)=O, t) 结果：v =1/2*g/k/pi/r2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r2/m*t)*g/k/pi/r2*m-2 k 兀r 21
6、 - e m t即 v =mg。2加r 2由速度的微分定义知：v = dH(t)，所以H(t) = i vdtdt0 t利用 MATLAB 可求得 H (t)syms t;z=in t(1/2 *g/k/pi/r2 *mT/2 *exp(-2 *k* pi *r2/m *t)* g/k/pi/r2 *m); N,D=numden(z)N 二g*m*(2*k*pi*r2*t+m*exp(2*k*pi*r2/m*t);D =4*k2*pi2*r4;H=N/D SJHTIS t ；z=int(l/2*g/k/pi/r2*m-l/2*ezp(-2*k*pi*r2/m*t)*g/k/pi/rNj D =
7、numden (z)N =g*m* (2*k*pi*r 2*t+m*eKp (-2*k*pi*r;H=N/DN =g*m*(2*k*pi*r2*t+m*eKp(2*k*pi*r2/m*t) l/4*g*m* (2*k*pi*r 2*t+m*eKp (-2*k*pi*r 2/m*t) )/k2/pi2/r4-2 k 兀r 2所以H (t)=2k兀 r2t + me m tmg4k 2 兀 2 r 4将 m=300,g=9.8,r=3 代入得：H (t)=52.017 kt + 276.099e -0.188 ktk2利用Origin进行H与t的非线性拟合，可求得：k=2.945.k求出了可进一步
8、通过分析求得降落伞的最大载重质量。当降落伞的半径为r时,4、十1 - e 2 2丁 t、，最大载重质量为m。由v =- mg可得v随着m的增大而增大，由反函数的2k兀 r 2性质可知若m是v的函数，则m随着v的增大而增大。而在此题中最大的落地速 度为20。因此v=20所对应的质量就是降落伞的最大载重质量。因为v中含有t 所以无法解出m。此时将v和H联立消去t之后，可得：syms g m k pi r v;v二dsolve(Dv二g-2*k*pi*r2*v/m,v(0)=0, t);a二solve(v=l/2*g/k/pi/r2*m-l/2*exp(-2*k*pi*r2/m*t)*g/k/pi/
9、r2*m, t );syms t;z=in t(l/2 *g/k/pi/r2 *mT/2 *exp(-2 *k* pi *r2/m *t)* g/k/pi/r2 *m); N,D=numden(z);N 二g*m*(2*k*pi*r2*t+m*exp(-2*k*pi*r2/m*t);D =4*k2*pi2*r4;H=N/D;subs(H,t,a) 利用MATLAB可解得：H =叫(1-ln(l-叱V)-工4k 2 兀 2 r 4mg2k 兀 r 2将 H=500，v=20，k=2.945 代入可得solve(500=l/4 *9.8 *m*( Tog(-(2*20*2.945*3.14*r2-
10、9.8 *m)/9.8/m )* m-(2 *2 0*2.945*3.14*r2-9.8 *m)/9.8)/2.945“2/3.14辺/r4,m)ans =37.744262265421074325678782244657*r2所以 m = 37.744r 2。由此代入不同的r即可得与之相对应的最大载重质量miir=2, 2. 5, 3, 3. 5,4 ;|fun(r)f =150. 9760235. 9000339. 6960462. 3640603. 9040：di_LS =150. 9760235. 9000339. 6960462. 3640603. 9040或者利用 MATLAB 可
11、求得:r=2, 2. 5, 3, 3. 5,4 f=37.744*r. 23 Editor - D:lATLAB7Torkf.ile瓦 dit Isk t Lll TjioIe H ehiugfunction f=fun(r) =37. 744+rH2150.9760235.9000339.6960462.3640603.9040m 二 150.976kg,m 二 235.900kg,m 二 339.696kg,m 二 462.364kg,m 二 603.904kg12345现在空气阻力系数k,和各种降落伞的最大载重质量均已求得。接下 来的工作就是求线性规划的最优解问题了。目标函数：min z
12、=736.529x + 909.411x + 1157.294x + 1535.176x + 1943.058x12345150.976x + 235.900x + 339.696x + 462.364x + 603.904x 2000 st 212345 x 0且为整数，i 二 1,2,3,4,5i利用 Lingo 编程min=736.529*x1+909.411*x2+1157.294*x3+1535.176*x4+1943.058*x5;150.976*x1+235.900*x2+339.696*x3+462.364*x4+603.904*x5=2000;gin(x1);gin(x2);
13、gin(x3);gin(x4);gin(x5);Global optimal solution found.Objective value:6578.586Extended solver steps:0Total solver iterations:0VariableValueReduced CostX10.000000736.5290X20.000000909.4110X31.0000001157.294X41.0000001535.176X52.0000001943.058RowSlack or SurplusDual Price16578.586-1.00000029.8680000.0
14、00000可求得：x =0， x 二 0, x 二 1, x =1， x =2。此时求得最优解:z=6578.586元。1 2 3 4 5即用半径为3m, 3.5m的降落伞各一个，用半径为4m的降落伞2个，既能满足空投 需要，又能使总费用最小。六，模型的应用与推广在实际生活中，空投已经成为一种比较重要的物资救援方式了，因此降落伞的选 择问题具有比较重要的实际意义，此模型能够解决在不同的高度投下，具有不同 的落地速度要求的降落伞的选择问题，只需要改变H和v的值即可。进一步，当降落伞的半径连续时，此问题就要先对降落伞的半径和费用进行数据 拟合，根据已知数据拟合出降落伞的半径和费用的函数关系则此问题又变为了非 线性优化问题，利用MATLAB样可以求得目标函数的最优解。七，模型的评价与改进 此模型比较简单，求解也比较方便，但模型也有明显的不足之处，在实际生活中 很多物资是不能任意分割的 每种物资的质量都有一定的规格，应在约束条件中， 加上此约束条件。空投物资的时候有物理知识可知物资是有一定的水平方向的速 度的，物资并不能竖直下落，与竖直线是有一定的夹角的，此模型并未考虑这一 点，应在此方面加以改进，加上约束条件物资下落时与竖直线的夹角。
