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1、北京市西城区2015 年高三一模试卷数学(理科) 2015.4本试卷分第卷和第卷两部分,第卷1 至2 页,第卷3 至6 页,共150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。第卷(选择题 共40 分)一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1设集合 A =0,1,集合B =x | x a,若,则实数a的取值范围是( )Aa1 Ba1 Ca0 Da02复数z 满足z i = 3 i,则在复平面内,复数z 对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四
2、象限3在极坐标系中,曲线 = 2cos 是( )A过极点的直线 B半径为2 的圆C半于极点对称的图形 D关于极轴对称的图形4执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为3,则输出的n 的值为( )A4 B5 C6 D75 设函数 f (x)的定义域为R,则“xR,f (x +1) f (x) ”是“函数 f (x)为增函数”的 ( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是 ( )7 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元,而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元,那么2 枝玫瑰和3 枝康
3、乃馨的价格的比较结果是 ( )A2 枝玫瑰的价格高 B3 枝康乃馨的价格高C价格相同 D不确定8 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示,给定点 A(0,a),若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点A 对称,则实数a 的取值范围是 ( )A(1,3) B(2,4) C(,3)D(,3)第卷二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分.9 已知平面向量a , b满足a = (1, 1), (a + b) (a b),那么b.10已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点,且双曲线C 的离心率为2,那么双曲线C 的方程为.11在ABC 中,角 A, B, C所对的边分别
4、为a , b , c ,若则a = .12若数列an满足a1 = 2,且对于任意的m, nN,都有 , 则= ;数列 an 前10 项的和S10 = .13某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺,其中 A必须在D的前面完成(不一定相邻),其它工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间, B 与C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种. (用数字作答)14如图,四面体 ABCD的一条棱长为 x,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD的体积为F(x),则函数F(x)的单调增区间是;最大值为.三、解答题:本大题共6 小题,共80 分解答应写出必要的文字说明、
5、证明过程或演算步骤15(本小题满分13 分)设函数()当, 时,求函数 f (x)的值域;()已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点,求相邻两个交点间的最短距离16(本小题满分13 分)2014 年12 月28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表(不考虑公交卡折扣情况)已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示()如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人,试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率;()从那些只乘坐四号
6、线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人,记X 为这2人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;()小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里,试写出s 的取值范围(只需写出结论)17(本小题满分14 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD是边长为 4 的正方形,EFAD ,平面 ADEF 平面 ABCD,且BC = 2EF , AE = AF ,点G 是EF 的中点。(1)证明: AG 平面ABCD 。(2)若直线BF 与平面AC
7、E 所成角的正弦值为,求AG 的长。(3)判断线段AC 上是否存在一点M ,使MG平面ABF ?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。18(本小题满分13 分)设nN*,函数,函数,x(0,+),(1)当n =1时,写出函数 y = f (x) 1零点个数,并说明理由;(2)若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧,求n的所有可能取值。19(本小题满分14 分)设F 1 ,F 2分别为椭圆的左、右焦点,点P(1,) 在椭圆E 上,且点P 和F1 关于点C(0,) 对称。(1)求椭圆E 的方程;(2)过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。20(本小题满分13 分)已知点列 (kN*,k2)满足P 1(1,1),中有且只有一个成立写出满足k = 4且P 4(1,1)的所有点列;证明:对于任意给定的k (kN*,k2),不存在点列T ,使得;当k = 2n 1且 时,求 的最大值19