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1、几何证明1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN(1)若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是三角形(2)在和中，若BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是三角形，且.(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段P
2、Q与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值围；(3)当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.3.(1)如图1，四边形中，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形中，若点为四边形一点，且，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论图图24. (1)如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BA
3、D.求证:EFBEFD; 图1 图2 图3 (2) 如图2在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.5.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置与数量关系(1)如图当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE
4、的数量关系是；(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（3）若m = tn（t1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标xOEBAyCFxOEBAyCFx
5、OEBAyCF7.如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，EBF=，猜想QFC= ；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式图1ACBEQFP图2ABEQPFC8. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，已知ADAB3，BC4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A
6、作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，PMC为等腰三角形？9如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DMBD，ENCE，得到图，请解
7、答下列问题：(1)若ABAC，请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量关系是_；在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若ABkAC(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明1、解：（1）等腰直角（2）等腰（3）结论仍然成立证明：在ABFEBC.AF=CE. AFB=ECBM,N分别是AF、CE的中点,FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF=NBCMBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC=2、解：（1）PQ=PB过P点作MNBC分别交AB、DC于点M、N在正
8、方形ABCD中，AC为对角线AM=PM 又AB=MNMB=PNBPQ=900BPMNPQ=900又MBPBPM =900MBP=NPQRtMBPRtNPQ,PB=PQ（2）S四边形PBCQ=SPBCSPCQAP=xAM=x CQ=CD2NQ =1x又SPBC=BCBM=1(1x)= -xSPCQ =CQPN=(1x)(1x) =S四边形PBCQ=x1 . (0x) (3)PCQ可能成为等腰三角形. 当点P与点A重合时，点Q与点D重合， PQ=QC，此时，x=0. 当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时， 有：QN=AM=PM=，CP=x,CN=1CQ=QNCN =（1） =x1当x=1时 ，x
9、=1 3、解：（1）如图，延长至，使可证明是等边三角形联结，可证明故图1图2（2）如图，在四边形外侧作正三角形，可证明，得四边形符合（1）中条件，联结，）若满足题中条件的点在上，则）若满足题中条件的点不在上，综上， 4、答案（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG. ABGABC=D90, ABAD，ABGADF.AGAF, 121+32+3=EAF=BADGAE=EAF又AEAE，AEGAEF.EGEFEG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的结论EF= BEFD仍然成立. （3）结论EF=BEFD不成立，应当是EF=BEFD 证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG
10、B+ADC180,ADF+ADC180，BADFABAD，ABGADF.BAGDAF,AGAFBAG+EADDAF+EAD=EAF =BADGAE=EAFAEAE，AEGAEF.EGEF EG=BEBG EF=BEFD5、答案：解：（1），（2）结论仍然成立。证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结，在与中：(SAS) .BF=DE, . .又CA=AF, CM=MB，AM / FB 且AM=FB, AM=DE6、答案：（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OEEGO = 45，从而AGE = 135由BF是外角
11、平分线，得EBF = 135，AGE =EBFAEF = 90，FEB +AEO = 90在RtAEO中，EAO +AEO = 90，EAO =FEB，AGEEBF，EF = AE（2）假设存在点E，使EF = AE设E（a，0）作FHx轴于H，如图由（1）知EAO =FEH，于是RtAOERtEHFFH = OE，EH = OA 点F的纵坐标为a，即FH =a由BF是外角平分线，知FBH = 45，BH = FH = a又由C（m，n）有OB = m，BE = OBOE = ma，xOEBAyCFGEH = ma + a = m又EH = OA = n，m = n，这与已知mn相矛盾因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OHOE = h + maHxOEBAyCF由AEF = 90，EAO =FEH，得AOEEHF，EF =（t + 1）AE等价于FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且，即，整理得nh = ah + ama2，把h =（t + 1）a代入得，即ma =（t + 1）（na）而m
