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1、第10讲原点矩与中心矩 协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。教学学时：2学时教学过程：第三章随机变量的数字特征3.3原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特 征，有时还要用到随机变量的各阶矩(原点矩与中心矩)，它们在数理统计中有重要的 应用。定义1设X是随机变量，若E(Xk)(k = 1,2,)存在，则称它为X的k阶原点矩，记作Vk (X)，艮口v (X) = E(Xk)，k = 1,2, k显然，一阶原点矩就是数学期望，即V (X)
2、= E(X)。1定义2设随机变量X的函数X - E(X)k(k = 1,2,)的数学期望存在，则称EX - E(X)k为X的k阶中心矩，记作r k (X)，艮口r (X) = EX E(X)k，k = 1,2, k易知，一阶中心矩恒等于零，即r 1( X)三0 ；二阶中心矩就是方差，即 r2(X) = D(X)。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：R = V - V 2r = v 一 3v v + 2v 3331 21H = v 一 4vv + 6vv 2 3v 4443 12 11等。定义3设X和y是随机变量，若E(XkYi)(k,l = 1,2,)存在，则称它为X和Y的 k +1阶混合
3、矩。若EX 一 E(X)k Y 一 E(Y)i (k, l = 1,2,)存在，则称它为X和Y的k +1 阶混合中心矩。 3.4协方差与相关系数1. 协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。定义3设有二维随机变量(X,Y)，如果EX -E(X)Y-E(Y)存在，则称EX - E(X)Y - E(Y)为随机变量X与Y的协方差，记作cov(X, Y)，即cov(X, Y) = EX - E(X )Y - E(Y)而C0V(X,Y)称为随机变量X与Y的相关系数，记作R(X, Y)，即 .：D( X *D(Y)cov( X, Y)cov( X, Y)R(X, Y )
4、=,=D( X ；D(Y)。(X Q (Y)显然，协方差cov(X, Y)是X和Y的二阶混合中心矩。当cov(X, Y) = 0，通常称随机变量X与Y是不相关的。2. 协方差的性质(1) cov( X, Y) = cov(Y, X)，cov( X, X) = D (X)由定义知性质(1)是显然的。(2) cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)证 cov( X, Y) = EXY - XE(Y) - YE(X) + E(X)E(Y)=E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y)=E(XY) - E(X)E(Y)(3) D(X + Y) = D(X
5、) + D(Y) 土 2cov(X, Y)证 D(X + Y) = E(X + Y) - E(X + Y)2 = E(X - E(X) 土 (Y - E(Y)2d(Ex )=D(X) + D(Y) 土 2cov(X, Y) 该性质可推广到任意场合，即D(X ) + 2 cov(X , X )i=1i=1i j(4) cov(oX,bY) = abcov(X, Y)，a,b 是常数。由定义知性质(4)是显然的。(5) cov(X1 + X2,Y) = cov(XY) + cov(X2,Y) 由定义知性质(5)是显然的。(6) 若X与丫相互独立，则cov(X, Y) = 0，即X与Y不相关。反之，
6、若X与Y不 相关，X与Y不一定相互独立。3. 相关系数的性质(1)冏X, Y)| 0。-1, a 0证 对于性质(1)，我们考虑随机变量z = X - E(X) 土 Y- E(Y)，由协方差的性质 ,D(X) 0 故R(X, Y)| 0|R(X，Y)| =1，R(X，Y) = U，。 0事实上相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量，当R(X,Y)| = 1时说明 随机变量X与Y之间具有很强的线性关系，当R (X, Y) = 1时为正线性相关， R(X, Y) = -1时为负线性相关。当|R(X, Y)| 1时，随机变量X与Y之间的线性相关程 度将随着网(乂, Y)的减小而减弱，当|R(X
7、, Y) = 0时，意味着随机变量X与Y是不相关 的。例1设随机变量Z服从-兀，兀上的均匀分布，又X = sin Z, Y = cosZ，试求相关系数R(X, Y)。解E (X) = -*-卜 sin zdz = 0, E (Y) = -*-卜 cos zdz = 02丸-兀2丸-兀E (X 2) = ! j sin 2 zdz = , E (Y 2) = j cos 2 zdz =2兀22E (XY) = !- j sin z cos zdz = 02-故cov( X, Y) = 0, R (X, Y) = 0相关系数R(X, Y) = 0，随机变量X与Y不相关，但是有X 2 + Y2 =
8、1，从而X与Y不独 立。例2设二维随机变量(X, Y)的联合概率分布如下:01-101/301/30101/3X-101px(x,)1/31/31/3证 易知x与y的边缘概率分布分别是:Y01pR)1/32/3试证明x与y不相关，但不相互独立。由公式得 1 11, .1 1112 cov( X, Y) = (-1) x 1x + 0 x 0 x + 1x 1x_ (1) x + 0 x + 1x(0 x + 1x 33333333=0 0 x - = 03所以X与Y是不相关的。但是，因为/1小、小、111八 八p (0,0) = 3，p (0) p (0) ，p (0,0)。p (0) p (
9、0)3 xY 3 3 9x y故X与Y不相互独立。例3设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为J1兀，X 2 + y2 1试证明随机变量X与Y不相关，也不相互独立。证由于D关于x轴、y轴对称，故E(x) = jj xdxdy = 0, E (Y) = jj ydxdy = 0, E (XY) = jj xydxdy = 0DDD因而 cov(X, Y) = 0, R(X, Y) = 0，即 X 与 Y 不相关。又由于显然在X 1IM z 1y) I |x| 1,|y| 1)上，fx(X) T1 一 X2, 兀0,2 . .-v1y2，国 1 兀。，|y| z12, )三0 x(X)fY，所以X与丫不相互独立。
