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1、新教材适用高中必修数学课时作业(十)函数的最大值、最小值A组基础巩固1函数y在区间2,4上的最大值、最小值分别是()A1,B.,1C., D.,解析:y在2,4上是减函数,当x2时取最大值y1;当x4时取最小值y,故选A.答案:A2函数f(x)的最大值是()A. B.C. D.解析:t1x(1x)2,0f(x),即f(x)的最大值为,故选D.答案:D3函数y|x3|x1|有()A最大值4,最小值0B最大值0,最小值4C最大值4,最小值4D最大值、最小值都不存在解析:y|x3|x1|ymax4,ymin4.答案:C4当0x2时,不等式ax22x恒成立,则实数a的取值范围是()A(,1 B(,0C
2、(,0) D(0,)解析:令f(x)x22x(0x2)(x22x1)1(x1)21,其图象如图所示:由图象可知f(x)最小值为f(0)f(2)0.而ax22x恒成立,a0,故选C.答案:C5.已知函数f(x)x22xa(x0,2)有最小值2,则f(x)的最大值为()A4 B6C1 D2解析:f(x)x22xa(x0,2)为增函数,所以最小值为f(0)a2,最大值f(2)8a6.答案:B6(2014保定高一检测)函数f(x)2xx2(x0,3)的最大值M与最小值m的和等于()A1 B0C1 D2解析:由于函数f(x)2xx2(x0,3)在区间0,1上是增函数,在区间(1,3上是减函数,故当x1时
3、,函数取最大值M1,当x3时,函数取最小值m3.因此Mm2.答案:D7已知函数f(x)x26x8,x1,a,并且f(x)的最小值为f(a),则a的取值范围是_解析:由题意知f(x)在1,a上是单调递减的,又f(x)的单调减区间为(,3,1a3.答案:(1,38函数f(x)在区间2,4上的最小值是_解析:f(x)1在x2,4上是增函数,f(x)minf(2).答案:9函数yx26x9在区间a,b(ab3)有最大值9,最小值7.则a_,b_.解析:yx26x9的对称轴为x3,而ab3.函数在a,b单调增解得又ab3,a2,b0.答案:2,010.利用单调性定义,证明:函数f(x)x在1,2上的单调
4、性并求其最值解析:设1x1x22,则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2),1x1x22,x1x20,1x1x24,x1x240,x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)x在1,2上是减函数从而函数的最大值是f(1)145,最小值是f(2)224.B组能力提升11某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量单位:辆)若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元解析:设公司在甲地销售x台,则在乙地销售(15x)台,公司获利为Lx221x2(1
5、5x)x219x30230,当x9或10时,L最大为120万元答案:C12已知函数f(x)ax22ax2b(a0)在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值解析:f(x)ax22ax2ba(x1)22ba的对称轴方程是x1.(1)当a0时,f(x)在2,3上是增函数即解得(2)当a0时,f(x)在2,3上是减函数即解得综上所述,a1,b0或a1,b3.13如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,问每间笼舍的宽度x为多少时,才能使得每间笼舍面积y达到最大?每间最大面积为多少?解析:由题意知笼舍的宽为x m,则笼舍的长为(303x)m,每间
6、笼舍的面积为yx(303x)(x5)237.5,x(0,10)当x5时,y取得最大值37.5,即每间笼舍的宽度为5 m时,每间笼舍面积y达到最大,最大面积为37.5 m2.14.已知二次函数f(x)x22x3.当xt,t1时,求f(x)的最小值g(t)解析:f(x)x22x3(x1)22,其对称轴为x1,开口向上当t1时,f(x)在区间t,t1上单调递增所以当xt时,f(x)取得最小值,此时g(t)f(t)t22t3.当t1t1,即0t1时,f(x)在区间t,t1上先减后增,故当x1时,f(x)取得最小值,此时g(t)f(1)2.当t11,即t0时,f(x)在区间t,t1上单调递减,所以当xt1时,f(x)取得最小值此时,g(t)f(t1)t22.综上,g(t)15.用mina,b表示a,b两个数中的最小值设f(x)minx2,10x(x0),求f(x)的最大值解析:在同一平面直角坐标系内画出函数yx2和y10x的图象根据minx2,10x(x0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分解方程x210x,得x4,此时y6,故两图象的交点为(4,6)所以f(x)其最大值为交点的纵坐标,所以最大值为6.