《二项分布、数学期望与方差专题复习--有详解-重点中学用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项分布、数学期望与方差专题复习--有详解-重点中学用（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差知识要点.事件的互相独立性(概率的乘法公式)设、B为两个事件,如果(B)P（A)P（B)，则称事件A与事件B互相独立.2. 互斥事件概率的加法公式:如果事件与事件B互斥,则(A+B）=P(A）(B).3.对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件,则P(A）=1-P（B).条件概率的加法公式:若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A)(B）（|）5.独立反复实验:在相似条件下反复做的次实验称为次独立反复实验，即若用Ai（i1,2,，n）表达第i次实验成果,则P（A1A2A3n)=P(A)P(A2）(3)(A）.注:判断某事件发生与否是独立反复实验，核心有
2、两点()在同样的条件下反复，互相独立进行;(2）实验成果要么发生,要么不发生6二项分布:在n次独立反复实验中，设事件A发生的次数为X，在每次实验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立反复实验中,事件A正好发生次的概率为P(X=k)Cpk(1-p)k(=0,1，2,，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p),并称为成功概率注：判断一种随机变量与否服从二项分布,要看两点（1)与否为次独立反复实验（）随机变量与否为在这n次独立反复实验中某事件发生的次数.7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P（xi），=1,2，,n.()均值:称E(X）x1x2p2+
3、xiixn为随机变量X的均值或数学盼望(）方差:D(X)=(x-(X)2pi为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的原则差(3)均值与方差的性质：()E(X+b）=aE（X)+；（2)D(aX+)2D（）（a,b为常数)8两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布： (X) , D(X)=p(1-p); B(n，）：(X)np ，D(X)=np(1p)典例精析例1.【高考四川,理17】某市A，B两所中学的学生组队参与辩论赛，中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生,两校推荐的学生一起参与集训，由于集训后队员的水平相称，从参与集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取
4、人构成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表达参赛的男生人数，求得分布列和数学盼望例2如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一种系统当K正常工作且A1、A2至少有一种正常工作时，系统正常工作已知、A、A正常工作的概率依次为09、.、0，则系统正常工作的概率为( ).0.960 B064 C0720 D.576例3.(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,商定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随后结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其他每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛成果互相独立(1)分别求甲队以3,1,32胜利的概率(
5、2)若比赛成果为0或31,则胜利方得分,对方得0分；若比赛成果为32，则胜利方得分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学盼望.例.为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举办趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分，为了增长节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手合计答对3题或答错3题即终结其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被裁减，已知选手甲答题的对的率为.(1）求选手甲答题次数不超过次可进入决赛的概率；（）设选手甲在初赛 中答题的个数,试写出的分布列，并求的数学盼望.例5(福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖
6、的方式对1000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一种装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.()若袋中所装的个球中有1个所标的面值为5元，其他3个均为1元求:顾客所获的奖励额为0元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及数学盼望（2)商场对奖励总额的预算是 00元,为了使顾客得到的奖励总额尽量符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元,0元，元,50元;方案：4个球中所标面值分别为20元，20元,40元，40元.如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案?例6(3分)如图所示,是某都市通过抽样得到的居民
7、某年的月均用水量(单位:吨）的频率分布直方图（)求直方图中x的值；(2）若将频率视为概率，从这个都市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学盼望与方差.例7（2分）某网站用“分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取1名，如下茎叶图记录了她们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶): (1)指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16人中随机选用人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这1人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数诸多)任选3人，记表达抽到“极
8、幸福”的人数,求的分布列及数学盼望例8.【高考湖南,理1】某商场举办有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球,在摸出的2个球中，若都是红球,则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖;若没有红球，则不获奖（1)求顾客抽奖次能获奖的概率;（)若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学盼望.例9.( 河北张家口市 三模21）(本小题满分2分)设函数.()若，求的单调区间;（)若当时，求的取值范畴.参照答案例【高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参与辩论赛，中学推荐名
9、男生，2名女生,中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参与集训，由于集训后队员的水平相称，从参与集训的男生中随机抽取人，女生中随机抽取3人构成代表队（)求中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表达参赛的男生人数，求X得分布列和数学盼望.【答案】（1)A中学至少1名学生入选的概率为（)X的分布列为：X的盼望为.【解析】(1)由题意，参与集训的男女生各有6名参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队)的概率为因此,A中学至少1名学生入选的概率为(2)根据题意,的也许取值为1，2,3，因此的分布列为:因此,X的盼望为例2如图
10、-1,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一种系统当正常工作且A1、A至少有一种正常工作时，系统正常工作已知、A1、A2正常工作的概率依次为.9、0、0.8，则系统正常工作的概率为( B )A.0.90 B.0.84 C.0.720 D0.576【答案】 至少有一种正常工作的概率为 ,则系统正常工作的概率为例3.(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛,商定先胜局者获得比赛的胜利,比赛随后结束除第五局甲队获胜的概率是外，其他每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛成果互相独立.(1)分别求甲队以0,31,32胜利的概率.（2)若比赛成果为或3,则胜利方得3分，对方得0分；若比赛成果为32,则胜利方
11、得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学盼望.【尝试解答】(1)记“甲队以0胜利”为事件1,“甲队以31胜利”为事件A2,“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛成果互相独立，故(A1)3，P（A2)=C2，(A3)=C22.因此甲队以0胜利,以1胜利的概率都为，以32胜利的概率为()设“乙队以32胜利”为事件4，由题意,各局比赛成果互相独立,因此(A4)22=由题意,随机变量X的所有也许的取值为0,1,根据事件的互斥性得(X0)P(A1）=()+P（2）=.又P（X1)(3)=,(=）P(A4)=,P(X3)=1-P(X0)-(1）P(X2)，故的分布列为X0123P因此EX=1+
12、23=.例.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举办趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增长节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会,选手合计答对3题或答错3题即终结其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被裁减，已知选手甲答题的对的率为（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率;（2）设选手甲在初赛中答题的个数，试写出的分布列，并求的数学盼望.【尝试解答】 (1）选手甲答3道题进入决赛的概率为3，选手甲答道题进入决赛的概率为C2=，选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P=+；()依题意，的可取取值为3、4、
13、，则有P(3)=33=，P()=C2C2=,P()=C+C22=，因此，有5E3+5=.规律措施2求离散型随机变量的均值与方差的措施:()先求随机变量的分布列,然后运用均值与方差的定义求解.(2）若随机变量X(n，p）,则可直接使用公式E()p，D（）=np(1p)求解例5.(福建高考改编）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一种装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为0元，其他个均为10元.求:顾客所获的奖励额为元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及数学盼望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,为了使顾客得到的奖励总额尽量符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.下面给出两种方案:方案1：4个球中所标面值分别为元,0元，50元,50元;方案2:4个球中所标面值分别为20元,20元,40元,40元.如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案?【解答】()设顾客所获的奖励额为X依题意,得P(X=6）=，即顾客所获的奖励额为6元的概率为依题意,得X的所有也许取值为20,6(X2)=，P(X6）,即X的分布列为206P因此顾客
