钟表上的追及问题

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1、解：5*10*15*20*2=30000 = X=0此数能被99整除=2+43+29+02+8Y+76+64是99的倍数= Y=1钟表上的追及问题一个n（n22）位正整数M中的相邻的一个、两个、.（n-1）个数码组成的数叫的片段数（新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3 点和4点之间的哪个时 刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实 际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。 通常有以下两种解法：一. 格数法1钟表面的外周长被

2、分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转一分格，分针一分钟转1个分12格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。x解析设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走石个分格。因为在3点这一时刻，时针x在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x-= 15 ,124解得x = 16亓。4所以3点16分时，时针与分针重合。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间,x时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了 45分格，于

3、是得方程x - = 45，解得 121x = 49 - o111所以3点49 分时，时针与分针成平角。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直 x8角时，分针比时针多走了 30分格，于是得方程x-= 30，解得x = 32盲o12 118所以3点32U分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360，所以时针1分钟转过的角度 是0.5，分针1分钟转过的角度是6。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5

4、x，分针旋转的角度是6x。整3点时,4 时针与分针的夹角是90，当两针重合时，分针比时针多转了 90，于是得方程6x-05x = 90，解得x = 16石。（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了 90 +180 =270 ,于是得方程6x - 0.5x = 270, 解得x = 49+。（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了 90。+90。= 180。，于是得方程6x - 0.5x = 180,8解得x = 32石。练一练1. 钟表上 9 点到 10 点之间，什么时刻时针与分针重合？2. 钟表上 5 点到 6 点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3. 钟

5、表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40的角？4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？（参考答案：1. 9点4911分;7102- 5 点 4311 或 5 点 1011 分173. 3点9 分或3点23分;74- 2 点 4311 分。）时钟指针重合问题的公式 根据钟表的构造我们知道，一个圆周被分为12个大格，每一个大格代表1小时；同时每一个大格 又分为5个小格，即一个圆周被分为60个小格，每一个小格代表1分钟。这样对应到角度问题上 即为一个大格对应36 0/12=30 ； 个小格对应360/60=6。现在我们把12点方向作为角 的始边，把两指针在某一时刻时针所指方向作为

6、角的终边，则m时n分这个时刻时针所成的角为30（m+n/60）度，分针所成的角为6n度，而这两个角度的差即为两指针的夹角。若用a表示此时两 指针夹的度数，则a =30 （m+n/60）-6n。考虑到两针的相对位置有前有后，为保证所求的角恒为正 且不失解，我们给出下面的关系式： a=|30（m+n/60）-6n|=|30m-11n/2|。这就是计算某一时刻两指针所夹角的公式，例如：求5时40分两指针所夹的角。把m =5，n =4代 入上式，得 a=|150-220|=70 （度）利用这个公式还可计算何时两指针重合问题和两指针成任意角问题。因为两指针重合时，他们所夹 的角为0,即公式中的a为0,再

7、把时数代入就可求出n。例如：求3时多少分两指针重合。解： 把a=0, m=3代入公式得：0=|30*3-11n/2|,解得n=180/11，即3时180/11分两指针重合。又如: 求1点多少分两指针成直角。解：把a=90, m=1代入公式得：90=|30 *1-11n/2|解得n=240/11。（另一解为 n=600/11）上述公式也可写为|30m+0.5n-6n|。因为时针1小时转过30度，1分钟转过0.5度，分针1分钟转 过6度.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正 好走5格，所以时针的速度是分针的560=1/12，分针每走60（1-5

8、/ 60） =65+5 / 11 （分）， 于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻 需追赶的格数三（1一1/12）二追及时间（分钟），其中，1 1/12为每分钟分针比时针多走的格 数。时钟问题解法与算法公式发表时间：2009-08-28编辑：Jakie来源：培优教育编者按：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小 格。解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按时”分为12大格，按分”分为60小格。每小时，时针走1 大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的

9、，分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12,时针指向2,分针在时针后5x2=10 （小格）。而分针每分钟可追及1 =（小 格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10一）分钟。解：（5x2） 一（1 ）=10一 = 10 （分）答：2点10分时，两针重合。30x2三（6-0.5）=605.5=120/11=10 又 10/11 分即2时10又10/11分分针和时针重合追问我要解释回答这是另一种追击问题追击时间=路程差速度差分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度2时整分针与时针相差30x2=60度在三点与四点钟之间,时针

10、和分针什么时候重合,什么时候成一条直线这个就是一个追击问题呗分针的速度是时针速度的12倍又时针的速度是30度/小时（即0.5度/分），则分针的速度是360度/小时（即6度/分）则重合时（6-0.5） t1=90,解得t1=180/11,所以在大约3点17分的时候重合成直线时（6-0.5） t2=90+180解得t2=540/11，所以在大约3点49分的时候成一条直线分针每分行6度，时针每分行0.5度，以12时为0度，3点钟时时针在90度，分针为0度，设需要x分钟 重合，根据追及问题得方程：6x=0.5x+905.5x=90x=180/11=16 又 11 分之 4即分针在3点16又11分之4分

11、的时候与时针重合分针和时针在一条直线上有2种情况: 第一种情况:重合分针和时针在3点整时相差15个小格分针每分钟追时针11/12个小格（分针前进1小格，时针前进5-60 = 1/12小格）那么分针追上时针需要：15一（11/12）=180/11 （分）=16又4/11 （分）在3点与4点之间，3点16又4/11分时分针与时针在一条直线上（化成代分数可以让你知道大概的重合时 间，所以这种题化成代分数较好）第二种情况：分针超前时针180度分针和时针在3点整时相差15个小格分针要超前时针180度，也就是要超前30个小格分针要追时针：15+30=45 （格）一共需要：45- （11/12）=540/1

12、1 （分）=49 又 1/11 （分）在3点与4点之间，3点49又1/11分时分针与时针在一条直线上2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12,时针指向4,分针在时针后 5x4=20 （小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能 成一条直线。因此，需追及（20+30）小格。解：（5x4 + 30） 一（1 1/12）=50一 = 54 （分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：

13、分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5x1 = 5小格，在成直角，分针必须 追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5x1 + 15）小格或追及（5x1+45）小格。解：（5x1 + 15） 一（1 1/12）=20一11/12 = 21 （分）或（5x1+45） 一（1 1/12）=50一11/12 = 54 （分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之 后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是

14、几点敲几下； 半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（0+30） 一（1 1/12）=30一11/12 = 32 （分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5x1 + 30） 一（1 1/12）=35一11/12 = 38 （分）即1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5x2 + 30） 一（1 1/12）=40一11/12=43 （分）即2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38

15、分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问, 再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走605 = 55 （分），即速度是标准钟速度 的=2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了 5x （1712）=27 （分），也就是此 挂钟要差27分才到5点30分。比较分数大小的若干方法与技巧比较分数大小问题是初中数学竞赛的一类常见问题，现介绍几种常用解法，以供同学们学习参考。一、巧加数字例1. （1992 年第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）1991 91 1992 92把1992 92 1993 93四个分数从小到大排列是解：将每个分数都加上 1，可得：1992 1921 +1 = ， +1 =-1993 199393931 1 1 1 所以