《石里克和康德数学思想比较分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《石里克和康德数学思想比较分析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 比较石里克和康德的数学思想 白振国摘要：康德在其著作未来形而上学导论和纯粹理性批判中对数学问题进行了系统的阐释，他认为关于数学知识属于先天综合判断，并对数学必然性何以可能进行了说明。但是随着非欧几何在数学领域的发展以及相对论的提出，康德对数学经验性解释暴漏出明显的问题。石里克敏锐地察觉到康德的先验综合判断的不合理性，在其普通认识论和现代物理学的时间与空间等著作对康德的数学思想进行驳斥，并认为数学命题只是分析命题。关键词： 先天综合判断 分析命题 蕴含定义数学作为一门基础学科对科学发展起着巨大的推动作用，有着深刻的认识论意义。从毕达哥拉斯“数本原”的本体论意义上的认识到现如今数学的认识论意义上
2、的认识，许多学者不停地追问：数学到底是什么？大卫.休谟将知识大体分为两类：关于观念的知识和关于实际的知识，第一类具有必然性和确定性，第二类是不确定性的和或然性，这种划分被称为“休谟之叉”，在他看来自然法则因果关系具有或然性，而符合逻辑规则的数学具有必然性。康德由于受欧几里得几何学和牛顿的经典力学的影响，认为数学知识是先天综合判断。在康德看来，数学的必然性应归于先天直观纯形式，即时间和空间。但伴随着非欧几何发展以及相对论理论的提出，康德的数学思想的基石开始动摇。石里克敏锐地发现康德认为数学是先天综合判断这一解释存在严重的问题，石里克认为，命题只存在分析命题和综合命题，根本不存在康德所说的先天综合
3、判断，数学只是分析命题。石里克通过普通认识论和现代物理学的时间与空间等著作对康德的数学思想展开猛烈的批判，并为数学命题只是分析命题这一论断提供理论支撑。一、 康德认为数学命题是先天综合判断与休谟关于知识的划分相似，康德在其纯粹理性批判中将判断分为分析判断和综合判断。所谓分析判断实指在其主项之中可以分析出谓项，只遵循矛盾律，如“红花是红色的”，我们可以从红花之中分析出红色这一属性（如果提及“属性”那么就暗含着“实体”概念，而“实体”概念是形而上学的残余，这里提及“属性”只是为了解释的方便）。康德的综合判断是从主项中分析不出谓项来，不但遵循矛盾律，而且包括充足理由律，如“一切物体是有重量的”，从“
4、物体”概念中绝对分析不出“重量”这一概念，物体本身是不存在重量，重量是相对物体之间关系而言的。康德进行这样的划分为了解决：数学必然性何以可能？与当代几何学和算学紧密联系即数形结合不同，受牛顿经典力学时空观的影响，康德将几何学和算学严格的区分开来，在他看来纯粹数学知识来源于空间和时间两种先天直观形式。几何学是根据空间的纯直观，算学是在时间里把单位一个又一个地加起来，通过这一解释来构造数的概念。（一） 纯粹几何学命题是先天综合判断康德将外在对象分为物自体和现象。物自体是不可知的，而现象是经验性的直观未被规定的对象。人具有外物刺激时获得表象的能力，即感性，只有感性才能给我们提供直观，而直观的对象是现
5、象。康德将现象分为现象的质料和现象的形式，质料是外在的，而形式是先天的。空间无非是感性直观纯形式的一种。康德在四个方面对于空间的直观形式进行论证：1、 空间不是从外部经验中抽引出来的经验性的概念。空间表现不能从经验中抽取出来，相反，外部经验必须同过空间表象才是可能的。2、 空间是一个作为一切外部直观的基础的必然的先天表象。空间不存在永远形成不了表象，但可以设想在空间中找不到任何东西。3、 空间不是关于一般事物关系的推论的概念，即普遍概念，而是纯直观。空间方面一切有关空间的概念都是以先天直观为基础。4、 空间被表象为一个无限给予的量。(1 ,p26)康德通过四个方面论证空间为什么是先天纯直观的。
6、为几何学是先天综合判断的先天性寻找到了可能性。那么几何学为什么又是综合判断呢？康德认为纯粹几何学任何一个原理都不是分析的。例如，两点之间直线最短，这是一个综合命题。因为我的直概念绝不包含大小的概念，而只包含某种性质。“最短”这一概念是加上去的而绝不能从分析“直线”这一概念中获得。通过这一论证过程，康德解决了“纯粹几何学为什么是先天综合判断？”这一问题。 （二）纯粹算学命题是先天综合判断 康德认为算学的先天纯形式是时间，时间是一切对象在我心中得以产生的主观条件。那么时间又何以是先天的呢？在康德看来，时间并非是从经验中抽取的经验性概念，相反，它为经验对象得以被认识提供可能。并且，康德认为人们可以想
7、象没有经验对象的时间却无法想象没有时间的经验对象。时间是先天直观纯形式而非推理性的或人们所认为的普遍概念。经过康德在其纯粹理性批判第一部分第二节对“时间”先天可能性进行系统的论证，为算学的必然性提供了理论依据。那么纯粹算学又何以是综合判断呢？ 康德认为算学的判断全部是综合判断。在算学里，以7+5=12为例，康德认为从“7”与“5”之和这一概念所包含的知识两个数目之合而为一，绝对想不到将两者合起来的那个数目是什么。无论对“5”和“7”这两个概念分析多久也不可能得到“12”这一概念来，必须通过外在直观对象来描述。例如，我们可以用五头牛，或用五个点，通过直观将“5”的各单位一个、一个的加到“7”的概
8、念，我们才得以认识“12”这一新概念。而这一新概念不是从前面的概念想到的。所以，算学永远是综合判断。通过上面的论证过程，康德又解决了“算学为是先天综合判断何以可能？”这一问题。如果我们仔细推敲康德的论证过程，那么我们会发现他受牛顿经典力学时空相分一说的影响，不过，与牛顿不同的是，康德认为时空是人认识经验对象的先天感性形式，而不是牛顿所认为的客观存在对象。在康德看来，客观对象或“物自体”是不能被人的理性所能理解地。同时，康德将本应属于论证结论的牛顿力学，作为其理论无可置疑的前提。如果牛顿经典力学呈现危机，那么康德关于“数学判断是先天综合判断”这一论断必然受到挑战。 二、石里克认为数学命题是分析命
9、题为了防止同康德的“判断”名称相混淆，石里克的判断这一概念在这里用“命题”这一名称。更重要的是，石里克的命题是标示事实的。所谓的事实是指关系的存在，它不单纯是客观实在，而且还指概念间关系的存在。“因为我们要理解的一套事实不仅仅是指实在对象之间的关系，而且还有这些概念之间关系的存在，雪是冷的是一个事实；2乘以2也是一个事实。”(2, p62)维特根斯坦在其逻辑哲学论中也说到：世界是所有事实的总体，而不是事物的总体。罗素对事实也有类似描述：“当我谈到一个事实时，我不是意指一个存在着的特殊事物，诸如苏格拉底、雨或太阳当我们说某一事物具有某一性质时，或者这个事物对另一个事物具有某一关系时，我们就表达了
10、一个事实；但是那个具有性质或关系的事物并不是我叫做一个事实的东西。”（3，p.219-220）因此，在石里克看来，命题是关于事实的记号。不同于康德的分析判断和综合判断，石里克将命题分为分析命题和综合命题。石里克的“分析命题”是指逻辑上必然真的命题而与经验无关，仅是同语反复，例如数学命题；“综合命题”是关于经验对象的命题，其真假性由经验事实来判断，例如自然科学命题。石里克对命题划分明显受休谟关于知识划分的影响。不过这里我要指出，在石里克的命题与知识不是等同的，在不自足的命题系统中，命题不仅包括知识而且还包括定义。“如果判断使一个新的记号与一组事实相配列（也就是如果在判断中出现一个为了标示这些事实
11、而产生的概念），那么这个判断便标示一个定义。但是如果这个判断使用的概念只是在其他情况下使用过的概念，那么，恰恰正是由于这个原因。它便构成了一定的知识。”(4,p82)在石里克看来关于数学的定义和关于经验对象的定义是两种不同的命题系统。前者是自足的，而后者是不自足的。所谓的自足，是指我们可以任意的定理作为定义对待，并从中推出通常作为概念的定义的那些判断的结论。而不自足，是指概念的定义不是一成不变的，伴随着认识的深入，总是有新的内容填充进来，过去的定义可能变成现如今的推出的部分。因此，在数学中可以通过几个公理系统推出全部的数学命题。有人可能认为，数学的概念必须诉诸于感性直观，像康德一样，“两点之间
12、直线最短”必须通过经验对象来认识。但是石里克认为，经验对象是不可靠的。“特别受到有关平行公设的观点发展的影响，数学家们开始怀疑直观的可靠性。”(5, p52)如果不诉诸于直观，那么对数学概念的理解何以可能？受大卫.希尔伯特几何学基础的影响，石里克提出了著名的“蕴含定义”，所谓蕴含定义就是规定由这些基本概念满足这些公理这个事实来定义这些概念。蕴含定义不与任何经验打交道，对概念的理解通过判断之间关系来呈现。同时，石里克还指出过去一些数学家喜欢公理的自明性，而现如今的数学家更喜欢公理构造上的简单性和系统上的简洁性。石里克指出：蕴含定义与实在没有任何关联和联系，蕴含定义明确地并在原则上拒斥这种联系，他
13、们停留在概念领域。这样一来，石里克为“数学命题是分析命题”这一论断提供了佐证。三、 石里克与康德关于数学思想的异同（一）石里克与康德的数学观点的相似之处 首先，康德和石里克都努力为数学寻找确定性的基础，他们都相信数学是确定无疑的。只不过康德通过先验原则这一前提来证实数学的确定性，而石里克认为数学是通过公理系统来演绎整个知识大厦。其次，康德和石里克的数学理论都有特定科学和数学理论作为支撑。康德的数学思想很大程度上受牛顿经典力学和欧几里得几何学的影响，而石里克的数学思想则很大程度受非欧几何和爱因斯坦相对论的影响。特别是近现代，每一次重大的科学和数学的进步都伴随着相应哲学的进步。 再次，康德和石里克
14、的数学观都含有深刻的认识论意义，他们都促进了人对数学的理解不断深入。他们都认识到数学的必然性必须避开经验对象，必须同经验划清界限，经验不可能为数学基础提供必然性的保障。（二）石里克与康德思想的不同之处 1、石里克批判康德的数学先验原则石里克对康德的理论的基础有着深刻的认识，而且意识到康德的先验论思想的主要理论依据是欧式几何和牛顿力学，伴随着非欧几何的发展和相对论理论的提出，认为时空是先天直观纯形式的理论都受到挑战。在现代物理学的时间与空间一书中，石里克特别指出空间是相对于物质对象而言的，没有物质就根本谈不上空间；同样，如果没有物质和改变发生在世界里，那么时间这一概念也是无意义的。在石里克看来，
15、康德试图撇开物质来谈空间，这样的努力是徒劳的，空间和时间不可能独立于物质而单独存在。康德认为几何学是先天综合判断，它的先天性来源于先天直观纯形式。那么在上段已经谈到，石里克认为没有物质谈空间是无意义的，并且极力反对这种先验原则。对石里克而言，几何学来源于纯粹概念性的构造，是思想的产物。2、石里克批判康德的数学综合原则随着非欧几何的发展，数学家开始怀疑直观的可靠性。数学家们极力避免将数学概念的定义诉诸于经验直观。在石里克看来，康德认为数学具有综合的性质是根本站不住脚的。数学概念是思想的建构，具有类的性质。实在对象只是为数学概念的理解提供了实例，但不能理解数学概念的真正定义，数学概念的定义必须在概念间的关系系统中来呈现。石里克坚持经验对象必须同概念严格区分开来，数学是一个演绎系统，防止它同任何经验打交道。特别是几何方面，石里克认为康德错误地把“实用性几何”（practical geometry）和“纯粹公理性几何”（purely axiomatic geometry)混为一谈。石里克在其自然哲学中指出“我们必须区别开两种几何：一种是刚体间位置关系的理论，另一种则是纯粹的或数学的几何学，后者可以在我们已经说明过的意义上的被描述为一个假设-演绎系统。”( 6 ,p.41)爱因斯坦对石里克的这种划分表示赞同，并在发表的几何学与经验一文中提出了一致的
