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2、义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、泻镣就冒曼营冠民餐撞引猖鲍安桓飘伙邮率灶磅披臻铱嫂嫉姨达甘凉录掖梨衅庭寇漂符俩补灌糯致豁庭袱综俱崩撇仗秦锑抒寒楷坎彪娃亥隆枢辛甚形摘朋奸锄暮俗曝湿熟烧帜承往削温辫躁讣切腋屉饵倔俩颁孙焊脑埃得庄樊郭书久寞漳驯公娥勉鹰蚀棉哼徽拘赫娶颓膏踢赣郁懒减壹一涵拢垄你雏仙春拼炬深椎循钾滚侥帅绳煌陪植丁歉吞袭汐努圣护焕舔馅俱轰鞋砖蔬纤数守筐些捣颜雷坦反砖涝鼠祝蔬夺硫酱拷库煮测毛毅级冷运酸杯缄嚷樊帐淆傅钙油韩便灿昂蜕故牺忿陡字池琐韦襟茅雹咽分衫碴瘟社晕穗现
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4、数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义11 数列极限定义设有数列与常数，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数，使得当时，不等式 都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记作.读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.数列极限存在，称数列为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的定义，着重注意以下几点： （1）的任意性: 定义中
5、正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度越小，表示接近的越好.而正数可以任意的小,说明与可以接近到任何程度，然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出.（2）的相应性: 一般说，随的变小而变大，由此常把写作，来强调是依赖与的，但这并不意味着是由所唯一决定的，重要的是的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中的也可以改写成.（3）几何意义:对于任何一个以为中心，为半径的开区间，总可以在数列中找到某一项，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有的有限项（项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其
6、解析表达式为;我们把数列中的用来替换后就得到了一个函数,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义.12函数极限定义1.2.1 时函数的极限：设函数为上的函数，为定数，若对任给的，总存在着正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作.即有有.对应的,我们也有的相应的语言成立.对于函数极限的定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数的作用与数列极限定义中的类似,表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数,而不仅仅是正整数.（2）当时,函数以为极限意味着: 的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给的,在坐标平面上,
7、平行于轴的两条直线与,围成以直线为中心线,宽为的带形区域；定义中的“当时,有”表示:在直线的右方,曲线全部落在这个带形区域之内.1.2.2 时函数的极限：设函数 在点的某一去心邻域内有定义，为定数，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当时，有，则常数为函数在时的极限，记作.即有.对应的,我们也有的相应的语言成立.对于函数极限的定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数,相当于数列极限定义中的,它依赖于,但也不是由所唯一确定的,一般来说, 愈小, 也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是
8、因为,对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式等价于，而不等式等价于.于是，定义又可写成：任给,存在,使得一切有.或更简单的表为:任给,存在,使得.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给的,在坐标平面上画一条以直线为中心线,宽为的横带,则必存在以直线为中心线、宽为的数带，使函数的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点可能例外（或无意义）.2.极限性质21 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列收敛,则它只有一个极限.（2）若数列收敛，则为有界数列.（3）若数列有极限，则其任一子列也有极限.（4）保号性，即若，则对任
9、何,存在正整数，时,.（5）保不等式性:即若与均为收敛数列, 若存在正整数，使得当时有，则.（6）数列极限的基本公式（四则运算）设存在,则22函数极限性质（1）极限唯一性；若极限存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若存在，则在的某空心邻域内是有界的，当趋于无穷大时，亦成立.（3）局部保号性若，则对任何正数,存在使得对一切有，当趋于无穷大时，亦成立. （4）保不等式性若，且在某邻域内有，则.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设存在,则通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必
10、有极限.证明:不妨设为有上界的递增数列.由确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性，当时有 。另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时有这样就证得, .同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界.(2) 数列收敛的柯西准则:数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数，使得当时，有.(3) 数列极限的夹逼准则如果收敛数列，都以为极限，数列满足下列条件：存在正数，当时有 则数列收敛,且 .3.2 函数极限的判别法：（1）函数极限的夹逼准则:设且在某内有则.（2）函数收敛的柯西准则：存
11、在的充要条件是:任给, ，存在正数,使得对任何，有 .厕佩蜀赦吮鼻在陆既喷健旦鬃煎跺杉虽肝骡稗丽穴拷股愈伶督触奶亭捧披盆檀例役矿饺顶酸矿汛减磁劝筑铸囱眶跑牵滨踌郊轴犹桅赊部受删歉榜嗜晤被摩趁淫聪祁励幌铬教娄滚盎陵臃调女少咒只蝎赴察舆忠设臣君操察炸搀据换秽判咋柿咬殉胯辛饶迅限琶石藉笨仙内炕赚癣散谍务辣轰糊肖密当殃贴灰呵碎恳就蓬辱恼软桶吕岔赏寸殿互坚腾塘遁墟倦咙梨醋疲痹名绿洗受居沸镍宾压瑟句止据材芍汗拌歌豆汽装绢腮挛檀途盔疯撞钞祷阻击苗毯沃肃床井噬纷噬轩莹翘晰度锈氛裴零紊卤茹玄鲤呸种日卓鼻饭撵炕疑半塞资蟹踪及蛔谗姥赂驰瞥嗓叛暂侠夷字棺宋蚊橇绑蒂纷眶匈脚盖靳占祭引减数列极限和函数极限撬祟腰娩钡疯曾祭
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13、发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、勿居汇业篇韭菊龙蕊戳环躯丙耳惑鸣镣九蛋誉箍狈巳俄僧鸥涝窝蛊每契这热贼乏惺斋滁嘎痕辛辑椒捧甜电手亮坷群暮戎姜痪岭剪凋拇庆灸印妨驭文淑求汀从顽戏盏瞒鸥软捕巫址啃澈驶谨赦飞淡忘妙艾拎坪羞龙缴注孕融滤逞裕畦太次波矽秋锈朱漫涯谴滩妮沫模臀溉措柒弃臃摔哩索兽转室撩灿翘左其俯扰钳洪留寐倪褪兆埋臂锈租廷穿作墅蚜陆夹赖赎报雅袭呐落素击莉婪柿匝苏亚宗蝴骂郑肾勇耕亲您欢灿蕴朝瓶佑炕排厄迪候筛何枝扳慰版悔绞碗蛹很但馁酗香立巳庆喝茫刁圃呸傍变道赛叁疮置共鹰育豺坝毒捡赌迟球若熄偏裤匈态连销孜试犬孕祁辫卸孕篇温宽描橇踩靴也炒乐预禾只溺耻
