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1、第八章第五节一、选择题1(文)(2014广东文)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D(理)(2014广东理)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析由0k0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能是()A15B25C60D165答案C解析双曲线的渐近线方程为0，两渐近线的斜率k，渐近线的倾斜角分别为30，150，所以POF的大小不可能是60.(理)已知双曲线1(a0，b
2、0)的渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析由渐近线方程为yx知，ab，又顶点到渐近线距离为1，1，由得，a2，b，选A3(文)(2013保定调研)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y248x的准线上则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案B解析由题意可知解得所以选B(理)(2014甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A1B1C1D1答案C解析因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线
3、的一个交点为(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此双曲线的方程为1.4(2014山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y212x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为()A6B2CD2答案D解析设双曲线C1的方程为1(a0，b0)由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x3，即双曲线中c3，a2b29，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4，所以2，与a2b29联立，得a22a90，解得a，故双曲线C1的实轴长为2，故选D5(2013广东六校联考)在平面
4、直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线1上，则为()ABCD答案C解析设ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，由正弦定理得，由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|10，|BC|AB|8.所以，故选C6(文)(2014江西赣州四校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以上情况都有可能答案B解析设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O
5、2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此时两圆内切综上，两圆相切，故选B(理)如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1AD1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分故选A二、填空题7(文)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m为集合1,2,3,4,5,6,7,8
6、,9中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是_答案解析由题意知双曲线方程可设为m2x2y21，从而e3，m0，m2，故所求概率是，故填.(理)(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案解析联立渐近线与直线方程可解得A(，)，B(，)，则kAB，设AB的中点为E，由|PA|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为3，6，化简得4b2a2，所以e.8(2014温州十校联考)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C
7、，若ACB120，则双曲线的离心率e_.答案2解析连接OA，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO|c，|OA|a，而ACB120，AOC60，又FA是圆O的切线，故OAFA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，e2.9(文)(2013北京大兴模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_答案2解析由解得由题意得得又已知a4，故a2，b1，c.所以双曲线的焦距2c2.(理)(2014深圳调研)已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲
8、线C的方程为_答案x21解析易得椭圆的焦点为(，0)，(，0)，a21，b24，双曲线C的方程为x21.三、解答题10(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积解析(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)，双曲线过点(4，)，1610，即6，双曲线方程为1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，点M(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，即0.
9、法2：(23，m)，(23，m)，(23)(23)m23m2，点M在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.(理)(2013铜陵一模)若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解析(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.(2)由得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2
10、250，k2或k2.又1k0，a0)与抛物线yx2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于()A2BCD答案B解析双曲线与抛物线x28y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(，2)在双曲线上，于是，得a23，b21，故e，故选B(理)(2013安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()ABC2D5答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，且mn，|F1F2|2c，由题可知F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边由双曲线的几何性质和直角三角形
11、的勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，等式两边同时除以a2得e26e50，解得e5或e1.因为双曲线的离心率e1，所以e5.12(2014重庆理)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()ABCD3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9()240，则(1)(4)0，解得(舍去)，则双曲线的离心率e.13(2014湖北文)设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3答案A解析关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线方程为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A14(文)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，)B32，
