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1、不变量的构造与运用一、选择题1. 已知函数，则的值等于A.B.C.D.二、解答题2. 对于项数为的有穷数列，记（），即为，中的最大值，并称数列是的控制数列如的控制数列是(1) 若各项均为正整数的数列的控制数列为(2) 设是的控制数列，满足（），写出所有的（为常数，；）求证：3. 对于数列，经过变换交换中某相邻两段的位置（数列中的一项或连续的几项称为一段），得到数列例如，数列（，）经交换两段位置，变换为数列设是有穷数列，令(1) 如果数列为，且为写出数列；（写出一个即可）(2) 如果数列为，为，为，为写出数列；（写出一组即可）(3) 如果数列为等差数列：，为等差数列：，求的最小值4. 已知集合，
2、对于，定义与的差为；与之间的距离为(1)证明：，有，且；(2)证明：，三个数中至少有一个是偶数；(3)设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为证明：5. 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令(1)如果数列为 ， ， ，写出数列，；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明：；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，6. 若数列满足，则称为数列记(1)写出一个满足，且的数列；(2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是
3、；(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由7. 对于数列，定义 “ 变换 ”： 将数列变换成数列，其中，且这种 “ 变换 ”记作继续对数列进行 “ 变换 ”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束(1) 试问经过不断的 “ 变换 ”能否结束？若能，请依次写出经过“ 变换 ”得到的各数列；若不能，说明理由；(2) 设，若，且的各项之和为（ i ）求， ；（ ii）若数列再经过次变换 ”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由8. 设是如下形式的行列的数表，满足性质： ， ， ，且记为的第行各数之和，为第列各数之和
4、；记为，中的最小值(1) 对如下数表，求的值；(2) 设数表形如其中求的最大值；(3) 对所有满足性质的行列的数表，求的最大值答案第一部分1C第二部分2 (1)数列为：；(2)因为，所以因为，所以，即因此，3 (1)或或或(2)；(3)考虑数列，满足的数对的个数，我们称之为 “顺序数 ”则等差数列：的顺序数为，等差数列：的顺序数为首先，证明对于一个数列，经过变换，数列的顺序数至多增加实际上，考虑对数列，交换其相邻两段和的位置，变换为数列显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由变为分别将三个不等式相加得与，矛盾所以经过变换，数列的顺序数至多增加其次，第一
5、次和最后一次变换，顺序数均改变（因为交换的相邻两段的前后的数的元素顺序不变，即上面的、与、的大小顺序不变，只有与的顺序改变）设的最小值为，则，即最后，说明可以按下列步骤，使得数列为对数列，第次交换和位置上的两段，得到数列：第次交换和位置上的两段，得到数列：第次交换和位置上的两段，得到数列：以此类推，第次交换和位置上的两段，得到数列：最终再交换所以的最小值为4(1) 设和位置上的两段，即得：因为从而又，所以由题意知当时，当时，所以(2) 设记，由（ 1）可知，所以中 的个数为，中的个数为 设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即，三个数中至少有一个是偶数(3)，其中表示中所有两个
6、元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个 ，个，则由于所以从而5 (1)，；，(2)设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以故(3) 设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由，可知又由（ 2）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，6 (1)是一个满足条件的数列（答案不唯一）(2) 必要性：因为数列是递增数列，所以所以是首项为，公差为的等差数列，所以充分性：由于所以即又因为，所以故即是递增数列综上，结论得证(3) 令，则因为所以因为，所以为偶数所以为偶数所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或当时，数列的项满足，当当时，有或时，数列；的项满足时，不能被，整除，此时不存在，数列，使得，7 (1) 数列不能结束，各数列依次为；以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形(2) （i ）因为大，即当的各项之和为，或时，可得，且，所以为的最大项，所以最由，得，即，故当时，同理可得，（ii ）方法一：由，则经过次 “ 变换 ”得到的数列
