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1、141拉普拉斯变换的定义1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来 把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在 求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解 时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2. 拉普拉斯变换的定义一个定义在0,+8)区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换式F(s)定义为8二几)二匸几)畀农式中s=o+jo为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由
2、F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为/ =尸加】=右匸:皿式中 c 为正的有限常数。1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：它计及 t=0- 至 0+ ， f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方 便。2)象函数F(s) 一般用大写字母表示，如I(s),U(s),原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。3)象函数 F(s) 存在的条件3. 典型函数的拉氏变换1) 单位阶跃函数的象函数代)=灭)F(s) = L &()=匸=二泌=-e512)单位冲激函数的象函数/(0 =灭)陀)=L 旳=J； S(t)-5tdt =股(i)厂盘
3、=1指数函数的象函数f(t)=严142拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中。表14-1拉氏变换的若干性质和定理忆（纽=再&）特性和定理表达式条件和说明线性丄同迫+（01 =述厲+虹L/Q r1 码 + 隔 o）=皿 J国（；） +br1 爲（；）1a、b为常数位移特性时域延迟盼gT为非负实数频域延迟Re(s -L?) c微分IL/V)= )-/(0)丄厅叫吗=刃 F(s) -厂/0 +-7(0)-h./-1W若所有初值为零，则有丄广切=3叭QE肿=5g积分丄篇（呃=”肌幼三恥）丄JM迓M曾二陀n肚初值定理血 / (f) = lim 奶(乩/(0) = lunX/TOoa或5
4、-calim 5 巩 s) 存在终值定理Em / (f) = lim ss),f(oo) =im55),Tg0或ID巩。所有奇点均在s平面左半部卷积定理丄L/iO）*兀=巧0）遢r1F1（5）.F2（5） = /1（v2W”心帅-详-”成-也如以迫为斗与打D的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。表 14-2 拉氏变换简表3陀X 3)M)10i 07曲=o 0*心十,）flis + a5（5 +应）1(1-)s2(s+d)占厂+曲-1s2+JCos atSin( at ),-丿Cosh ats2-a2Sinh( at )-(1 - cosaf)FfF +c?)sinaf)(s + a)(5 + 助严一严b-a3 + Q3 +ae -舱-皱 a -b4) = -例14-1已知E，求函数f=1/推)的像函数。解:F(s)= LU(t) = ULs(t) = 2j S ( Z )羊 F#、 * 羊 片例14-2已知，求f(t)的象函数。解：根据积分性质和吋域延迟性质=1)呛1) 1) = 4 凸例14-3求函数建)=腐0)的像函数。
