《空间点、直线、平面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间点、直线、平面（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示.表8-4名称公理1公理2文字语言如果一条直线上 的两点在一个平面 内，那么这条直线上 所有的点都在这个平 面内过不在同一直线上的 三点有且只有一个平 面符号语言A e lB e l ，n l u aA e aB eaA, B,C 不共线 n A,B,C e a 且 a 是 唯一确定的公理2的推论1 推论若点Aw a，则经过点 A和直线a有且仅有 一个平面a经过一条直线和该直 线外一点有且只有一 个平面推论2两条相交直线确定 个平面aPlb = P n有且只有 一个平面a，使 a ua,b ua推论
2、3两条平行直线确定 个平面ab n有且只有一 个平面a ,使 a u a,b u a公理3若 PeaC 则 aD。= a,且 P e a如果两个不重合的平 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线、空间直线与直线的位置关系1.位置关系如表8-5所示.表8-5位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形/X/Z/符号adb = Pabad a = A, b ua, A w b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平 面两条平行直线确定一个 平面两条异面直线不同在 如何一个平面内2.公理4 （平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行.3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则
3、这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6）位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形/ f/”/zy/ /符号l uain a = Pl a公共点个数无数个10四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7）表8-7位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形/7匕 /X ak/Z7LZJ符号a Pa n。= la 1 P , a Cl。= l公共点个数0无数个公共点且都在 唯一的一条直线上无数个公共点且都在 唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”
4、或“点共线”及“线共点”思路提示要证明“点共面”、“线共面可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内 （即纳入法）；证明“点共线可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点， 根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明“线共点问题是证明三条或三条以上直线交于一点， 思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上 例8.19如图8-73所示，平面ABEF 平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， /BAD = /FAB = 900, BC /1 AD, BE /1AF.2= 2求证：C,D,F,E四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的
5、确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC, FE相交与一 点.图 8-73 GG 图 8-74解析 如图8-74所示，延长DC交AB的延长线与点G，由BC_/_1AD,得（GB =照 =BC = 1,延长FE2tA jD AD 2G E _ G B BE _ 1G B _ GB交ab的延长线于g，同理可得jf = Ga = AF = 2,故g7! = ga 即g，与g重合，因此，直线cd 和EF相交与点G,即C,D,F,E四点共面.变式1如图8-75所示，已知ABCD-A BCD是正方体，点F在CC上，且AE=FC,求证E,B,F,D四点共面. 1111111图 8-75变式2如图
6、8-76所示，在六面体ABCD-A BCD中，上下底面均为正方形，DD 1平面ABCD，DD 1 1111111111平面ABCD.求证：A1C 1与AC共面，B1D1与BD共面.图 8-76例8.20如图8-77所示，空间四边形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上，且满足AE： EB=CF： FB=2： 1， CG： GD=3： 1，过 E, F,G 的平面交 AD 于 H，连接 EH, HG.( 1)求 AH： HD; (2)求证:EH, FG, BD 三线共点.图 8-77解析 (1)因为竺=萱 =2,所以EFAC,又EFc平面ACD，所以EF平面ACD，而EFu平面EFGH,
7、 EB FB,AH CG _且平面 EFGH |平面 ACD=GH,所以 EFGH,而 EFAC,所以 ACGH,所以二二3,即 AH： HD=3： 1.HD GDtEF 1 GH 1(2)证明：因为EFGH，且二二，二 所以EF乂GH,所以四边形EFGH为梯形.AC 3 AC 4，令 EHFG = P，则 P g EH, P g FG,，而 EH u 平面 ABD，FG u 平面 BCD，平面 AB 平面 BCD=BD， 所以P g BD,，故EH, FG, BD三线共点.评注所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条 直线交于一点，再证明第三条直
8、线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共 点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1如图8-78所示，正方体ABCD-A BCD中，E,F分别是AB, AA的中点.求证：(1) E, C, D,F四点共111111面；(2) CE, D1F, DA三线共点.变式2如图8-79所示，点E, F, C, H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB, BC, CC1, C1D1的中点，证明：EF, HG, DC 三线共点.题型2截面问题思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的 形状.例8.21如图8-80所示
9、，正方体ABCD-A B C D的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC上的动点， 过点A, P, Q的平面截该正方体所得截面记为S；则下列命题正确的 .（写出所以正确命题的编 号）. 当0 CQ 1时，S为四边形； 1 当CQ = 5时，S为等腰梯形；一 一 3一 1 当CQ =-时，S与CD1的交点R满足CR = 3 ； 3 一 一 当 CQ 1时，S为六边形；4 当CQ = 1时，S的面积为三6.分析本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直 线确定一个平面._解析 对于，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当CQ =1时，PQ =
10、 2，这时过A, P, Q的截面与正方体表面交与点D 1，且PQ II ADX，截面S，如图8-81 （a）所示，Ap = DQ = -,截面S为等C 1,-m腰梯形，当。CQ2时，过Ap,g点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，如 图8-81（b）所示，故正确;一一 一 3 , 如图8-81 (c)所示，当CQ =时，44 , 如图8-81 (d)所示，当CQ = 5时， 如图8-81 (e)所示当CQ = 1时，CR CQ 1，八“1+ =书=,又 CT=1，得 CR =；CT QC 313 ；过点A, P, Q的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS；则过点A, P,
11、 Q的截面为A, P, Q,S，其截面为菱形，对角线SP = 5 AQ =3所以S的面积为1 x综上，正确的命题序号是.变式1如图8-82所示，M是正方体ABCD-ABCD的棱DD的中点，给 出下列四个命题：11111 过M点有且只有一条直线与直线AB,BC都相交；1 1 过M点有且只有一条直线与直线AB,BC都垂直；1 1 过M点有且只有一个平面与直线AB,BC都相交；1 1 过M点有且只有一个平面与直线AB,BC都平行.1 1其中真命题是().A. B.C. D.变式2在棱长为1的正方体ABCD-A BCD,过对角线BD的一个平面交AA于E,交CC与F,得四边形 1111111BFDE，给
12、出下列结论： 1 四边形BFD E有可能是梯形；1 四边形BFD E有可能是菱形；1 四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；1 四边形BFD】E有可能垂直与平面BB1D1D ； 四边形BFD E面积的最小值为g.其中正确的是（）A. B.C.D.题型3异面直线的判定思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）.A.平行或异面B.相交或异面C.异面 D.相交解析 假
13、设a与b是异面直线，而ca,则c显然与b不平行（否则c b ,则有a b ,矛盾），因此c与 b可能相交或异面，故选B .评注判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1已知空间三条直线l, m, ，若l与m异面，且l与n异面，则（）A. m与n异面B. m与n相交C. m与n平行D. m与n异面、相交、平行均有可能变式2已知a, b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a, b在a上的射影可能是：两条平行直线； 两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.变式3若直线l不平行于平面a，且l qa，则（）A. a内
14、的所有直线与l异面B. a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与l平行D. a内的直线与l都相交例8.23如图8-83所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内，m和N分别AB和DF为 的中点，用反证法证明：直线ME与BN是异面直线.解析 假设直线ME与BN共面，连接AN, NE, EB，则ab u平面MBEN，且平面MBEN与平面交于，由 已知，两正方形ABCD和DCEF不在同一平面，故AB仁平面DCEF，又AB CD，所以AB 平面 DCEF，又平面MBEN I平面DCEF = EN，所以 AB EN，又 AB CD EF，所以 EF EN， 这与EF EN = E矛盾，故假设不成立，所以直线ME与BN不共面，直线ME与BN是异面直线.国 8-83变式1在正方体ABCD - ABCD中，棱BB,CD的中点分别是F,H，如图8-84所示，判断点 A,D ,F,H是否共面？并说明理由.Heg 8-84最有效训练题
