《浙大四版《概率论与数理统计》第一章内容提要及课后习题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙大四版《概率论与数理统计》第一章内容提要及课后习题解答（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 概率论的基本概念内容提要考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1随机试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则二 事件的关系与概率的
2、性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） （2） A与B 互逆（对立事件） ,（3） A与B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式1 乘法公式：2 全概率公式：3Bayes公式：4二项概率公式: ,课后习题解答随机试验与随机事件1. 写
3、出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（一 1），n表小班人数（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（一 2）S=10，11，12，n，（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标2
4、. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：或A (AB+AC)或A (BC)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，表示为：ABC（5）A，B，C都不发生，表示为：或S (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于中至少有一个发生。故 表示为：。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：中至少有一个发生。故 表示为：（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为
5、：AB+BC+AC频率与概率3.（1）设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 。（2）已知，求的概率解：（3）已知（i）若A，B互不相容，求；（ii）若，求解：（i）因为A，B互不相容，所以，（ii）因为，所以.4、设A，B两个事件.（1）已知，验证A=B。（2）验证事件A和B恰有一个发生的概率为解：（1）因为，所以，A=B（2）事件A和B恰有一个发生等价于，所以古典概型5、10片药片中有5片是安慰剂.（1）从中任意抽取5片，求其
6、中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：（1）设抽取的5片中安慰剂的片数，B其中至少有2片是安慰剂则 或（2）设C前3次都取到安慰剂,则，或6 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有（2）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当
7、于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种7 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解：记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有故8 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。解：记“恰有90个次品”为事件A 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有种（2）至少有2个次品的概率。解：记
8、：A表“至少有2个次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种 且B0，B1互不相容。9 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只中至少有两只配成一对”则表“4只全不配对” 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有10 在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率解：设A=排列结果为ability因为卡片中有两个b和两个i，所以组成a
9、bility的方式有=4 所以：11 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。(从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)12 5
10、0个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E：铆法有种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有10种法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有种，每种铆法等可能对A：三支
11、次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有种13一俱乐部有5名一年级的学生，2名二年级的学生，3名三年级的学生，2名四年级的学生。（1）从中任选4名学生，求四个年级各有一名学生的概率；（2）在其中任选5名学生，求四个年级的学生均包含在内的概率。解：（1）记A表示“四个年级各有一名学生”，则（2）设表示“从第i个年级抽取两名学生，从其他年级各取一名”（i1，2，3，4），则四者互斥。，所以，所求概率为条件概率、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式14（1） 已知。解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)P (A。再由加法定理，P (A)= P
12、 (A)+ P ()P (A于是（2） 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得15 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每种结果（x, y）等可能。A=掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故方法二：（用公式S=(x, y)|
13、x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则，故16 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P孩子得病=，P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=，P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.17 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件A）法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。法三：
