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1、精品数学高考复习资料第十一节轨迹方程的求法了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基
2、础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；列几何等式：写出适合条件的点的集合PM|P(M
3、)，关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；化简：把方程f(x，y)0化成最简形式；证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省略(2)求曲线轨迹方程应注意的问题要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型基础自测1(2013衡水中学模拟)下列说法正确的是()A在A
4、BC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x2B方程yx2(x0)的曲线是抛物线C已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|PB|AB|，则P点的轨迹是双曲线D第一、三象限角平分线的方程是yx解析：A选项中高线为线段，B选项中为抛物线的一部分，C选项中是双曲线的一支故选D.答案：D2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线解析：设动点P的坐标为(x，y)，则(2x，y)，(3x、y)，由x2，得y2x6，因此选C.答案：C来源:数理化网3.已知椭圆1的左、右两个焦点分别是F1，F2，P是这个
5、椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|F2P|，则Q的轨迹方程是_解析：提示：用定义法求轨迹方程答案：(x1)2y2161曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.来源:其中，所有正确结论的序号是_解析： 曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积SF1F2P，因
6、为SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正确答案：2(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11，圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长
7、为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.来源:所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24，当l的倾斜角为90时，则与y轴重合，可得|AB|2.当l的倾斜角不为90时，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以设l：yk(x4)，由l与圆M相切得1，解得k.来源:当k时，将yx代入1(x2)并整理得7x28x80，解得x1，x2，所以|AB|x1x2|.当k时，由图形的对称性可知|AB|，综上，|AB|或|AB|2.1(20
8、13盐城模拟)设M、N为拋物线C：yx2上的两个动点，过M、N分别作拋物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB1.(1)求点P的轨迹方程；(2)求证：MNP的面积为一个定值，并求出这个定值(1)解析：y2x，设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的斜率分别为k12m，k22n，切线方程分别为y2mxm2，y2nxn2，则A，B，设P(x，y)，由得因为AB1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，将代入上式得：yx21，所以点P的轨迹方程为yx21.(2)证明：设直线MN的方程为ykxb(b0)联立方程消去y得x2kxb0，所以mn
9、k，mnb，点P到直线MN的距离d，MN|mn|，所以SMNPdMN|mn|(mn)2|mn|2.即MNP的面积为定值2.2.已知椭圆E：1(ab0)过点P(，1)，F1、F2为其左、右焦点，且PF1F2的面积等于.(1)求椭圆E的方程 (2)若M，N是直线x上的两个动点，满足F1MF2N，问：以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由SPF1F22c1，c.两个焦点为F1(，0)，F2(，0)又椭圆E过点P(，1)，2a|PF1|PF2|4，得a2.b2a2c22，椭圆E方程为1.(2)设M，N的坐标分别为，m，则，.，0，即2mn0，mn.来源:以MN为直径的圆C的圆心为，半径为，圆C的方程为22，即x2y23x(mn)y20.令y0，整理得x23x20，得x1或x2，以MN为直径的圆C必过定点(1,0)和(2,0)精品备战高考复习题精品备战高考复习题
