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1、概率论与数理统计模拟试题一一、 填空题（每题4分，解题步骤仅供参考，考试时直接写结果即可）1. 若，是三事件，且 ，那么，都发生的概率为 ，而三件事件中至少有一个发生的概率为 。【参考答案】：2. 若，是三事件，事件，中不多于两个发生的情况用，的运算关系表示为 或 。【参考答案】: 或 3. 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，恰有2个设备被使用的概率是 。【参考答案】：=0.07294. 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求 。【参考答案】：5. 设随机变量的
2、概率密度为，常数k应取值为 。【参考答案】：由，得6. 泊松分布的分布律为，其期望值为 ，方差值 为 。【参考答案】期望值为，方差值为7 .设随机变量的概率密度为，那么 。【参考答案】：8. 设总体 是来自的样本，那么 。【参考答案】：9. 随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么总体均值的矩估计值= 。【参考答案】：10. 设总体是来自X的样本，那么 。【参考答案】因为 ，故有1. 若和是两事件，且 ，那么满足 的条件下取到最大值，最大值为 。【参考答案】：；0.6 2. 若，是三事件，
3、事件，中不多于一个发生的情况用，的运算关系表示为 或 。【参考答案】: 或 或 或 3. 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，至少有3个设备被使用的概率是 。【参考答案】：=0.008564. 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求 。 【参考答案】：5. 设随机变量的概率密度为， 那么 。 【参考答案】：由6. 正态分布的密度函数为，其期望值为 ，方差值 为 。【参考答案】期望值为，方差值为6. 设随机变量的概率密度为，那么 。【参考答案】：8. 设总体 是来自
4、的样本，那么 。【参考答案】：9. 随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么方差矩估计值= 。【参考答案】10. 设总体是来自X的样本，那么 。【参考答案】因为 ，故有7. 若和是两事件，且 ，那么满足 的条件下取到最小值，最小值为 。【参考答案】：；0.38. 若，是三事件，事件，中至少有两个发生的情况用，的运算关系表示为 或 。【参考答案】: 或 9. 一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，至多有3个设备被使用的概率是 。【参
5、考答案】：10. 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求 。【参考答案】：5. 设随机变量的概率密度为，那么 。【参考答案】：6. 均匀分布的密度函数为，其期望值为 ，方差值 为 。【参考答案】期望值为，方差值为7. 设随机变量的概率密度为，那么 。【参考答案】：8. 设总体 是来自的样本，那么 。【参考答案】：9. 随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么样本方差 = 。【参考答案】10. 设总体是来自X的样本，那么
6、。【参考答案】因为 ，故有二、 简答题（每题10分，答案仅供参考，考试时只写结果不写步骤不得分）1. 一个学生连续参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为，若第一次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为。如果至少有一次及格则他能够取得某种资格，求他取得该资格的概率。【参考答案】 假设 E表示事件“一学生连续参加一门课程的两次考试” 表示事件“第次考试及格”， A表示“他能取得某种资格” 依题意 ，因为，且有已知条件： 故 2. 设K在（0，5）服从均匀分布，求的方程有实根的概率。【参考答案】 的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 即解得由假设K在区间（0,5）上服从
7、均匀分布，其概率密度为故这一二次方程有实根的概率为 3. 设二维随机变量（X ,Y）的概率密度为求边缘概率密度。【参考答案】y（X ,Y）的概率密度在区域 外取零值。如图有 y=x x14. 设随机变量(X ,Y)具有概率密度为 ，求xyy=x1-1y=-x 【参考答案】 只在区域 上不为零。故有 5. 求总体 的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。【参考答案】将总体 的容量分别为10和15的两独立样本的均值分别记作，则，从而即故所求概率为 6. 设总体X具有分布律 其中 为未知参数。已知取得了样本值。试求的矩估计值和最大似然估计值。【参考答案】（1） 解得 因此得
8、的矩估计值为 这里 ()=()= ，所以的矩估计值为（2）由给定的样本值，得似然函数为 那么 ln 令 得 的最大似然估计值为1. 一个学生连续参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为，若第一次及格则第二 次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为。如果已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。【参考答案】 假设 E表示事件“一学生连续参加一门课程的两次考试” 表示事件“第次考试及格”， A表示“他能取得某种资格” 依题意要求的是 )，已知条件： 故2. 设某一河流每年的最高洪水水位（单位：米）X的概率密度为今要修建能防御百年一遇洪水（即）的河堤，问：河堤应修多高（河堤高度起点和
9、洪水水位起点相同）【参考答案】 设河堤高度为，则应有，由所以河堤应修10米高。3. 设随机变量（X , Y）的概率密度为(1) 试确定常数；(2) 求边缘概率密度 。【参考答案】(1) 由 得： (2) 4. 设X为随机变量，C 是常数，证明 。（提示：因为）上式表明 当 时取到最小值。）【参考答案】 等号仅当 时成立。5. 在总体 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率。【参考答案】，因为总体，所以 ，故 6. 设总体X具有分布律 其中 为未知参数。已知取得了样本值。试求的矩估计值和最大似然估计值。【参考答案】（1） 解得 因此得的矩估计值为 这里 ()=(
10、)= ，所以的矩估计值为（2）由给定的样本值，得似然函数为 那么 ln 令 得 的最大似然估计值为7. 根据资料表明，某一个三口之家，患某种传染病的概率有以下规律：求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。【参考答案】：假设 A表示事件“孩子得病” B表示事件“母亲得病” C表示事件“父亲得病”按题意要求的是 已知 由乘法定理： 8. 随机变量X的概率密度函数为 ，求：(1) 的值；（2）；(3) 【参考答案】 （1）根据 得 (2）当 时， 当 时， 当 时，故 （3）9. 设随机变量（X ,Y）的概率密度为求条件概率密度。【参考答案】如图 xyy=x1-1y=-x 当 时当 时也可写成因此当 时，当 时，10. 设长方形的高（以m计）XU(0,2)，已知长方形的周长（以m计）为20。求长方形面积A 的数学期望和方差。【参考答案】长方形的高为X，周长为20，所以它的面积A 为XU(0,2)，X的概率密度为所以11. 已知，求证：【参考答案】因为 ，故可写成 的形式，其中，且Z和Y相互独立。于是在 中 ，且和相互独立，按分布的定义知12. 设总体X具有分布律 其中 为未
