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1、最新高考数学复习资料第十六章几何证明选讲考纲展示命题探究1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定及性质(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(2)一般三角形相似的判定定理预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或
2、两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(3)直角三角形相似的判定定理定理如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(4)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等
3、于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项如图所示，在RtABC中，AC BC，CDAB，则CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.注意点相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等(2)可间接证明线段相等(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件(4)可计算周长、特征线段长等.1思维辨析(1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似()(2)在
4、ABC和ABC中，若有，则ABCABC.()(3)直角三角形ABC中，C90，CDAB，则有ABCACD，ABCCBD.()答案(1)(2)(3)2如图，在ABC中，AEDB，DE6，AB10，AE8，则BC的长为()A. B7C. D.答案C解析由已知条件AEDB，A为公共角，所以ADEACB，则有，从而BC.3在RtABC中，C90，CDAB于D，若BDAD13，则BCD_.答案解析由射影定理得，CD2ADBD，又BDAD13，令BDx，AD3x，CD2ADBD3x2，CDx，在RtCDB中，tanBCD，BCD.考法综述考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形
5、射影定理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查命题法1平行线分线段成比例定理典例1如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则的值为_解析如图，过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM.又点D是AC的中点，在CAF中，CMMF，.答案【解题法】平行线分线段成比例定理的应用以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效利用定理命题法2三角形相似的判定与性质典例2(1)如图，在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.求证：；若AC3，求APAD的值(2)如图，梯形AB
6、CD内接于O，ADBC，过点C作O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.求证：AB2DEBC；若BD9，AB6，BC9，求切线PC的长解(1)证明：因为CPDABC，PDCPDC，所以DPCDBA，所以.又ABAC，所以.因为ABCAPC180，ACBACD180，ABCACB，所以ACDAPC.又CAPDAC，所以APCACD，所以.所以APADAC29.(2)证明：ADBC，ABCD，EDCBCD.又PC与O相切，ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC，即AB2DEBC.由知，DE4，ADBC，PDEPBC，.又PBPD9，PD，PB.PC2PDPB.PC.【解题法】相似
7、三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定1.如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析由弦切角定理知FBDBAD，AD平分BAC，CBDCAD，BADDBC.FBDC
8、BD，即BD平分CBF，正确；由切割线定理知，正确；由相交弦定理知，AEEDBEEC，不正确；ABFBDF，AFBDABBF，正确故选D.2如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.答案9解析EB2AE，AB3AE，又DFCEFA，9.3如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.4如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明
9、：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为2(2)2.5.如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，
10、AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1同弧或等弧所对的
11、圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径3圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角互补性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线5弦切角定理弦切角等于它所
12、夹的弧所对的圆周角6与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角注意点圆中的有关定理可以解决的问题类型相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的
13、大小及与圆的切线有关的问题.1思维辨析(1)相同长度的弧所对的圆心角相等()(2)任何四边形都有外接圆()(3)同一段弧所对的圆周角是圆心角的.()(4)圆的切线长是割线与圆交点的两条线段长的比例中项()答案(1)(2)(3)(4)2如图，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_答案解析设圆的半径为r，则(3r)(3r)13，即r26，解得r.3如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD3，AD4，AB2，则BC_.答案解析由切割线定理，得BD2CDAD，得CD.又ADBC，DD，ABDBCD，解得BC.考法综述利用圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理确定圆中有关线段之间的关系，解题中一般应用弦切角定
