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1、万有引力定律专题万有引力定律与牛顿三定律，并称经典力学四大定律，可见万有引力定律的重要性。万 有引力定律定律已成为高考和各地模拟试卷命题的热点。此部分内容在考纲中列为II级 要求。有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难度不大，规律性较强。特别是随着我 国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会越来越强。一、对万有定律的理解1. 万有引力定律发现的思路、方法开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律，但没能揭示出行星按此规律运动的 原因.英国物理学家牛顿（公元16421727）对该问题进行了艰苦的探索，取得了重大突破.首先，牛顿论证了行星的运行必定受到一种指向太阳的引力.
2、其次，牛顿进一步论证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二次 方成反比.为了在中学阶段较简便地说明推理过程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨道论 证的.第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦跟 太阳的质量成正比.因此得出：太阳对行星的行力跟两者质量之积成正比.最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万有 引力规律赋予普遍性.2. 万有引力定律的检验牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律，开始时还只能是一个假设，在其后的 一百多年问，由于不断被实践所证实，才真正成为一种理论.其中，最有效的实验验证有以 下四方面
3、.地球形状的预测.牛顿根据引力理论计算后断定，地球的赤道部分应该隆起，形状 像个橘子.而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠檬.1735年，法国科学院派出两个测量队分赴亦道地区的秘鲁（纬度？ =20。）和高纬度处 的拉普兰德（? = 66 ），分别测得两地1。纬度之长为：赤道处是110600m，两极处是 111900m.后来，又测得法国附近纬度1。的长度和地球的扁率.大地测量基本证实了牛顿 的预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息.哈雷彗星的预报.英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，1682年出现 的大彗星与1607年、1531年出现的大彗星实际上是同
4、一颗彗星，并根据万有引力算出这个 彗星的轨道，其周期是76年.哈雷预言，1758年这颗彗星将再次光临地球.于是，预报彗 星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验.后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实.海王星的发现.万有引力常量的测定.由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的，也只有通过反复的验证，才能被人们所普 遍接受.尸 3. 万有引力定律的适用条件? yPAf例1、如下图所示，在半径R=20cm、质量M= 168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，d空穴的半径为要，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m=1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中
5、心的直线 上，并且在空穴一边，两球心相距是d = 2m，试求它们之间的相互吸引力.解：完整的铜球跟小球m之间的相互吸引力为F = GMin d 2这个力F是铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜球对小球m的吸引力F=F+F2.式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为R/2的小铜球对m的吸引力。因为F2Mn_g =G R（d- 2）2所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为F1 = F-F2 = 2.41X 10-9N例2、深入地球内部时物体所受的引力可把整个质量集中于球假设地球为正球体，各处密度均匀.计算它对球外物体的引
6、力， 心.如果物体深入地球内部，如何计算它所受的引力？如右图所示，设一个质量为m的物体（可视为质点）在地层内离 地心为r的A处.为了计算地球对它的引力，把地球分成许多薄层.设 过A点的对顶锥面上两小块体积分别为 V1.AV2.当%和% 很小时，可以近似看成圆台.11已知圆台的体积公式V = 1 兀 H （R 2 + R 2 + RR ）31212式中和虬分别是上、下两底面的半径.当圆台很小很薄时，且H a，H b时，R=r产R.那么V= n HR2根据万有引力定律12AF = G 业=GnPK a 2Sin2 9 = Gnp冗H sin2 91 a 2a 2Am2nnp兀 b2 sin2 9A
7、F = G b= G；= Gnp兀H sin 2 9所以Mid%，即两小块体积的物体对A处质点的引力大小相等，且方向相反，它们的合力为零.当把地球分成许多薄层后，可以看到，位于A点以外的这一圈地层（右 图中用斜线表示）对物体的引力互相平衡，相当于对A处物体不产生引力， 对A处物体的引力完全由半径为r的这部分球体产生.引力大小为4兀 r 3 p n .F = GMn = G 3= 4 GKr 2 p nrr 2r 23即与离地心的距离成正比.当物体位于球心时，r=0，则Fr=O.它完全不受地球 的引力.所以，当一个质量为m的物体从球心（r=0）逐渐移到球外 时，它所受地球的引力F随r的变化关系如
8、右图所示.即先随 r的增大正比例地增大；后随r的增大，按平方反比规律减小；当r=R0（地球半径）时，引Mm4. 注意领会卡文迪许实验设计的巧妙方法.由万有引力定律表达式F = Gmim2可知，G = -，要测定引力常量G,只需测出 r 2m m两物体m1、m2间距离r及它们间万有引力F即可.由于一。科汰、般物体间的万有引力F非常小，很难用实验的方法显示并 j测量出来，所以在万有引力定律发现后的百余年间，一直矿没有测出引力常量的准确数值.M 卡文迪许巧妙的扭秤实验通过多次“放大”的办法解决了这一问题.图是卡文迪许实验装置的俯视图.奇 K/首先，图中固定两个小球m的r形架，可使m、m之间微小的万有
9、引力产生较大的力矩，使金属丝产生一定、角度的偏转臼，这是一次“放大”效应.其次，为了使金属丝的微小形变加以“放大”，卡文迪许用从1发出的光线射到平面镜 M上，在平面镜偏转。角时，反射光线偏转2。角，可以得出光点在刻度尺上移动的弧长s =20 R，增大小平面镜M到刻度尺的距离R，光点在刻度尺上移动的弧长S就相应增大，这 又是一次“放大”效应.由于多次巧妙“放大”，才使微小的万有引力显示并测量出来.除 “放大法”外，物理上观察实验效果的方法，还包括“转换法”、“对比法”等.深刻认识卡文迪许实验的意义(1) 卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性.(2) 第一次测出了
10、引力常量，使万有定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值.(3) 标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代.(4) 表明：任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成.5. 物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因.但重力又不完全等于引力.这是因为地 球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向 心力.这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是f = mm 2，式中的r是物体与地轴的距离，3是地球自转的角速度.这个向心力来 自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力如右图，
11、引力F的另一个分力才是物体的重力mg.在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度3相同，而圆周 的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零).纬度为a处的物体随地球自转所需的向心力f = mRs 2 cos a (r为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcosa =0，f=0.作为引力 的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大 .在赤道上，物体的重力等于引力与向心力 之差.即mg = GMm. .在两极，引力就是重力.但由于地球的角速度很小，仅为10-5radR 2/s数量级，所以mg与F的差别并不很大.在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力mg =
12、 G.这是一个很有K2用的结论.从图中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能向 地心.同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值， 还随着物体离地面高度的增加而减小.若不考虑地球自转，地球表面处有mg = Gm .，可以得出地球表面处的重力加速度R2厂Mg = GR 2mg = G Mm(R + h)2在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g，由牛顿第二定律可得:即 g = G一一 = 一 g (R + h)2(R + h)2则g=g/4.在月球轨道处，由于r = 60R，所以重力加速度g =如果在h=R处 g/ 36
13、00.重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用.例3、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量， 在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90%，已知万有引力恒量G=6.67X10-nN-m2 /kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少？解析在两极，由万有引力定律得mg = Gm.R2在赤道 GMm = mg + m 4 2 R R 2T 2依题意mg =O.9mg3兀由式和球体积公式联立解得P =伞5 = 3.03 X103kg /m30.1GT 2二、万有引力定律在天文学上的应用1. 万有引力定律提供天体做圆周运动的向心力人造地球卫星的绕行速
14、度、角速度、周期与半径的关系八Mm由Gr 2v 2 GMr越大，v越小r越大，越小r越大，T越大=m 得 v = 1r r八 MmGM由 G= mm 2 得 w =.r 2V r 3Mm4 兀 2:4 兀 2 r 3由G = mr得T =r2 T2GM例4、土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量 环中各层的线速度a与该l层到土星中心的距离R之间的关系来判断：（AD）A. 若v-R,则该层是土星的一部分；B.若V28R,则该层是土星的卫星群C.若v-1/R,则该层是土星的一部分D.若V2-1/ R，则该层是土星的卫星群求天体质量、密度八Mm4兀24.由G = mr
15、 M = p兀R 3 即可求得r 2T 23注意天体半径与卫星轨迹半径区别人造地球卫星的离心向心问题例5、在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期， 由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始 做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是 （C ）A. 由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动B. 由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动C. 由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动D. 地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空 气阻力无关例6、宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（A ）A. 只能从较低轨道上加速B. 只能从较高轨道上加速C. 只能从同空间站同一高度轨道上加速D. 无论在什么轨道上，只要加速都行2. 人造地球卫星
