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1、第6讲平面向量1.(1)2018全国卷 在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+(2)2018全国卷 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.试做命题角度向量的线性运算观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用三角形法则或平行四边形法则找关系;用好平面向量的基本定理和共线定理.2.(1)2017全国卷 已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1(2)2018全国卷 已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.
2、2D.0试做命题角度数量积公式及应用根据需要,灵活变形数量积公式求解.利用数量积与共线定理可以解决垂直、平行、夹角问题.建立坐标系,利用平面向量的坐标运算解题.小题1平面向量的线性运算1 (1)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a(a+2b),则m= ()A.-4B.4C.0D.-2(2)在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得=+,则+= ()A.B.-C.2D.-2听课笔记 【考场点拨】向量的线性运算问题的两点注意:(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加减法运算及数乘运算来求
3、解.(2)注意结论的使用:O为直线AB外一点,若点P在直线AB上,则有=+(+=1);若点P满足=,则有=+.【自我检测】1.已知向量a=(m,1),b=(1,m),则“m=1”是“ab”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知O是正三角形ABC的中心,若=+,其中,R,则的值为 ()A.-B.-C.-D.23.已知a=(3,-2m),b=(1,m-2)是同一平面内的两个向量,且该平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=a+b(,为实数),则实数m的取值范围是 ()A.B.C.(-,2)D.(-,-2)(2,+)4.如图M2-6-1所示,在正方形
4、ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=+,则+的最大值为.图M2-6-1小题2平面向量的数量积及应用2 (1)已知向量a与b的夹角是,且|a|=1,|b|=2,若(a+b)a,则实数= ()A.B.-C.D.-(2)已知在OAB中,OA=OB=2,AB=2,动点P位于线段AB上,则当取最小值时,向量与的夹角的余弦值为 .听课笔记 【考场点拨】平面向量数量积问题难点突破:(1)借“底”数字化,要先选取一组合适的基底,这是把平面向量“数化”的基础;(2)借“系”坐标化,数形结合,建立合适的平面直角坐标系,将向量的数量积运算转化为坐标运算.【自我检测】1.已知两个单位向量a,b的夹角为,则(2a+
5、b)(a-b)=()A.1B.-1C.D.-2.已知向量a,b满足a=(1,),|b|=1,|a+b|=,则a,b的夹角为()A.B.C.D.3.已知菱形ABCD的一条对角线BD的长为2,点E满足=,点F为CD的中点.若=-2,则=.4.若平面向量e1,e2满足|e1|=|3e1+e2|=2,则e1在e2方向上投影的最大值是.第6讲平面向量 典型真题研析1.(1)A(2)解析 (1)因为AD为中线,E为AD的中点,所以=+=+=(+)+(-)=-.(2)由已知得2a+b=(4,2),由c(2a+b)可得=,所以=.2.(1)B(2)B解析 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B
6、(2,0),C(1,).设P(x,y),则(+)=(-x,-y)(2-x,-y)+(1-x,-y)=(x,y)(2x-3,2y-)=x(2x-3)+y(2y-)=2x2-3x+2y2-y=2+2-,当且仅当x=,y=时,等号成立,点在平面ABC内部,此时(+)取得最小值,最小值为-.(2)a(2a-b)=2|a|2-ab=2-(-1)=3.考点考法探究小题1例1(1)A(2)B解析 (1)根据题意,a=(2,m),b=(1,-2),则a+2b=(4,m-4),若a(a+2b),则有4m=2(m-4),即m-4=2m,解得m=-4.故选A.(2)因为点D在边BC上,所以存在tR,使得=t=t(-
7、).因为M是线段AD的中点,所以=(+)=(-+t-t)=-(t+1)+t,又=+,所以=-(t+1),=t,所以+=-.故选B.【自我检测】1.A解析 向量a=(m,1),b=(1,m),若ab,则m2=1,解得m=1,所以“m=1”是“ab”的充分不必要条件.故选A.2.C解析 延长CO交AB于点D.=(+)=(-+-)=-,=,=-,=-.3.B解析 由题意可知,平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=a+b,a,b是一组基底,a,b不共线,则3(m-2)-2m,解得m,故m的取值范围是.故选B.4.3解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),设正
8、方形ABCD的边长为2,则C(2,2),B(2,0),D(0,2),P(x,2),x0,2,=(2,2),=(2,-2),=(x,2).=+,+=.令f(x)=(0x2),f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=3,故+的最大值为3.小题2例2(1)B(2)-解析 (1)因为|a|=1,|b|=2,且向量a与b的夹角为,所以ab=|a|b|cos=1.因为(a+b)a,所以(a+b)a=a2+ab=+=0,所以=-.(2)因为OA=OB=2,AB=2,所以OAB=,所以=(+)=|2+|cos=|2-|=-,当且仅当|=时,取得最小值-,此时|=,所以向量与的夹角的余弦值为=-.
9、【自我检测】1.C解析 (2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2=2-11cos-1=.2.C解析 由题得|a|=2,|a+b|=,a2+2ab+b2=3,4+1+221cos =3,cos =-.0,=.3.-7解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设C(t,0)(t0),则A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E,F,=(t,1),=,=(-t,1),=.=-2,-t2+=-2,解得t2=5,=-t2+=-7.4.-解析 由|e1|=|3e1+e2|=2,可得4=36+6|e1|e2|cos+,e1在e2方向上的投影为|e1|cos=-2=-,当且仅当|e2|=,即|e2|=4时,
10、等号成立. 备选理由 例1考查向量的模,通过转化为二次函数的形式求最值;例2进一步强化平面向量数量积的运算,是对例题的补充强化.例1配例1使用 已知点A(4,3)和点B(1,2),点O为坐标原点,则|+t|(tR)的最小值为 ()A.5B.5C.3D.解析 D由题意得=(4,3),=(1,2),则|+t|=,结合二次函数的性质可得,当t=-2时,|+t|取得最小值,此时|+t|=.例2配例2使用 已知腰长为2的等腰直角三角形ABC中,M为斜边AB的中点,点P为该平面内一动点,若|=2,则(+4)的最小值为.答案 48-32解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-,-),B(,-),M(0,-).设P(2cos ,2sin ),则=(-2cos ,-2sin ),=(-2cos ,-2sin ),=(-2cos ,-2sin ),=(-2cos ,-2sin ),(+4)=8(sin +2)2,当sin =-1时,上式取得最小值,最小值为48-32.
