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1、第六讲 函数与方程适用学科数学适用年级高三理适用区域通用课时时长分钟120知识点1.方程的根与函数的零点2.二分法3.函数与方程的综合问题教学目标1结合二次函数的图像 ,判断一元二次方程根的存在性及根的个数 ,从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像 ,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解 ,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.教学重点函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点 ,特别是“二分法求方程的近似解也一定会是高考的考点.从近几年高考的形势来看 ,十分注重对三个“二次即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的考察力度 ,同时也研究了它的许多重要的结论 ,并付
2、诸应用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次问题有关.教学难点函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点 ,特别是“二分法求方程的近似解也一定会是高考的考点.从近几年高考的形势来看 ,十分注重对三个“二次即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的考察力度 ,同时也研究了它的许多重要的结论 ,并付诸应用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次问题有关.教学过程一、知识讲解考点1方程的根与函数的零点讲解内容1函数零点概念：对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点.函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根 ,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.二
3、次函数的零点： ,方程有两不等实根 ,二次函数的图象与轴有两个交点 ,二次函数有两个零点； ,方程有两相等实根二重根 ,二次函数的图象与轴有一个交点 ,二次函数有一个二重零点或二阶零点； ,方程无实根 ,二次函数的图象与轴无交点 ,二次函数无零点.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 ,并且有 ,那么函数在区间内有零点.既存在 ,使得 ,这个也就是方程的根.考点2.二分法讲解内容二分法及步骤：对于在区间 ,上连续不断 ,且满足的函数 ,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ,用二分法求函数的
4、零点近似值的步骤如下：1确定区间 , ,验证 ,给定精度；2求区间 ,的中点；3计算：假设= ,那么就是函数的零点；假设 ,那么令=此时零点；假设0 ,f(x)在区间p ,q上的最大值M ,最小值m ,令x0= (p+q).假设p ,那么f(p)=m ,f(q)=M；假设px0 ,那么f()=m ,f(q)=M；假设x0q ,那么f(p)=M ,f()=m；假设q ,那么f(p)=M ,f(q)=m.3二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.方程f(x)=0的两根中一根比r大 ,另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r 二次方程f(x)=0在区间(p ,q)
5、内有两根二次方程f(x)=0在区间(p ,q)内只有一根f(p)f(q)0 ,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根假设在(p ,q)内成立. 二、例题精析【例题1】【题干】方程lgx+x=3的解所在区间为A(0 ,1) B(1 ,2) C(2 ,3) D(3 ,+)【答案】C【解析】1在同一平面直角坐标系中 ,画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图).它们的交点横坐标 ,显然在区间(1 ,3)内 ,由此可排除A ,D至于选B还是选C ,由于画图精确性的限制 ,单凭直观就比拟困难了.实际上这是要比拟与2的大小.当x=2时 ,lgx=lg2 ,3-x=1.由于lg21 ,因
6、此2 ,从而判定(2 ,3) ,故此题应选C【例题2】【题干】设a为常数 ,试讨论方程的实根的个数【答案】当或时 ,原方程有一解；当时 ,原方程有两解；当或时 ,原方程无解.【解析】原方程等价于即构造函数和 ,作出它们的图像 ,易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时 ,原方程有一解；当时 ,原方程有两解；当或时 ,原方程无解.【例题3】【题干】设函数在上满足 , ,且在闭区间0 ,7上 ,只有.试判断函数的奇偶性；试求方程=0在闭区间2019 ,2019上的根的个数 ,并证明你的结论【答案】函数是非奇非偶函数在2019,2019上有802个解.【解析】由f(2x)=f(2+x),f
7、(7x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由又故f(x)在0,10和10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2019上有402个解,在2019 ,0上有400个解,所以函数在2019,2019上有802个解.【例题4】【题干】设函数 ,其中常数为整数.1当为何值时 ,；2请证明：当整数时 ,方程在内有两个实根.【答案】1m1 (2)见解析【解析】1函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续 ,且当x(m,1m)时,fxf(1m)当x(1m, +)时,fx0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方
8、法 ,f(1m)=1m为极小值 ,而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时 ,f(x) 1m0(2)证明：由I知 ,当整数m1时 ,f(1m)=1-m1时 ,类似地 ,当整数m1时 ,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号 ,由所给定理知 ,存在唯一的故当m1时 ,方程f(x)=0在内有两个实根.【例题5】【题干】关于“二分法求方程的近似解 ,说法正确的选项是A“二分法求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；来源:学#科#网C应用“二分法求方程的近似解 ,在a,b内有可能无零点；
9、D“二分法求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；【答案】D【解析】如果函数在某区间满足二分法题设 ,且在区间内存在两个及以上的实根 ,二分法只可能求出其中的一个 ,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解 ,二分法的实施满足零点存在性定理 ,在区间内一定存在零点 ,甚至有可能得到函数的精确零点.【例题6】【题干】方程在0 ,1内的近似解 ,用“二分法计算到到达精确度要求.那么所取误差限是A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005【答案】C【解析】由四舍五入的原那么知道 ,当时 ,精度到达.此时差限是0.0005 ,选项为C【例题7】【题干】设二次函数 ,方程的两个根满足
10、. 当时 ,证明.【答案】见解析【解析】由题意可知 ,当时 ,.又,综上可知 ,所给问题获证.【例题8】【题干】二次函数 ,设方程的两个实数根为和. 1如果 ,设函数的对称轴为 ,求证：；2如果 , ,求的取值范围.【答案】1见解析2或.【解析】设 ,那么的二根为和.1由及 ,可得 ,即 ,即两式相加得 ,所以 ,；2由, 可得.又 ,所以同号. ,等价于或,即或解之得或.【例题9】【题干】设 ,假设 , , 试证明：对于任意 ,有【答案】 见解析【解析】,当时 ,当时 ,综上 ,问题获证.【例题10】【题干】设aR ,函数f(x)=x2+|xa|+1,xR. （1） 讨论f(x)的奇偶性 2
11、求f(x)的最小值.【答案】1f(x)为非奇非偶函数2当时 ,f(x)最小值为.当时 ,f(x)最小值为a2+1.当时 ,f(x)最小值为.【解析】1显然a=0时 ,f(x)为偶函数 ,当a0时 ,f(a)=a2+1, f(a)=a2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0 此时f(x)为非奇非偶函数.2首先应先去掉绝对值 ,再进行讨论.当xa时 ,.假设,那么f(x)在区间- ,a上单调递减 ,f(x)的最小值为f(a)=a2+1.(如图(I)假设 ,那么f(x)在区间- ,a上的最小值为如图II).当xa时 , ,假设 ,那么f(x)在a,+上的最小值为如图III.假设 ,那
12、么f(x)在a,+上单调递增.那么f(x)在a,+上的最小值为f(a)=a2+1.(如图IV).综上 ,当时 ,f(x)最小值为.当时 ,f(x)最小值为a2+1.当时 ,f(x)最小值为.来源:学|科|网Z|X|X|K【例题11】【题干】函数和的图象关于原点对称 ,且.()求函数的解析式； ()解不等式； ()假设在上是增函数 ,求实数的取值范围.【答案】() 【解析】 ()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为 ,那么点在函数的图象上()由当时 , ,此时不等式无解.当时 , ,解得.因此 ,原不等式的解集为.三、课堂运用【根底】1. 假设函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线 ,那么以下说法正确的选项是 A假设 ,不存在实数使得；B假设 ,存在且只存在一个实数使得；C假设 ,有可能存在实数使得； D假设 ,有可能不存在实数使得；【答案】C【解析】由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B ,可通过反例“在区间上满足 ,但其存在三个解推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足 ,但其存在两个解；选项C正确 ,见实例“在区间上满足 ,但其不存在实数解.2. 假设关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根 ,那么实数m的取值范围是()A(1,1)B( ,2)(2 ,)C(2,2)D( ,1)(1 ,)【答案】B【解析】由一
