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1、 - - . 定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。关键词 ：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起
2、来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u( x ) 的边际函
3、数为 ,则有例1 生产某产品的边际成本函数为, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。解 总成本函数 = = =2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。例2 已知某产品总产量的变化率为 ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。解 所求的总产量为(件)3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量
4、为多少时利润最大? 并求出最大利润。解总成本函数为 =总收益函数为R( x ) = 500x总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x令= 0, 得x= 200因为( 200) 0所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 200-1000=39000( 元) 。例4 某企业生产x 吨产品时的边际成本为( 元/ 吨) 。且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低?解： 首先求出成本函数, 得平均成本函数为 求一阶导数令, 解得(= - 300 舍
5、去) 。因此, ( x) 仅有一个驻点= 300, 再由实际问题本身可知( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为 （百万元/年）试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？ 解： 有极值存在的必要条件 ，即可解得 t=8故=8时是最佳终止时间，此时的利润为 因此最大利润为18.4百万元4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P的单调递减函数。同时商品价
6、格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=与P= , 此时函数P=也称为需求函数, 而P=也称为供给函数。需求曲线(函数) P=与供给曲线(函数) P=的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P
7、= 购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在 Q, Q+内消费者消费量近似为, 故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积, 如图如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, 是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额, 故生产者剩余为它是曲边三角形的面积。例6设某产品的需求函数是P=。如果
8、价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。解 已知需求函数P=,首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。于是消费者剩余为 = =(30Q-=66666.67(元)。例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 01, 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。解 首先求出对应于= 425 的的值, 令425= 250+ 3Q + 0. 01, 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为 = =4583.339(元)。5 利用定积分决定广告策略问题例8
9、;某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为美元的广告活动. 按惯例, 对于超过美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告?解由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分即总销售额= =( 美元) 公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是(美元)156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的, 因此, 广告所产生
10、的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元)这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。6 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y=。例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为Y= 从而投资所获得的纯收
11、入的贴现值为( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得T =即收回投资的时间为T=例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为 =( 年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.例10有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的
12、资本价值) .解 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现 = = = =40000（万元）从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.例11 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式得又得
13、(元)。即这对夫妇每年应等额地存入4517元, 10年后才能为孩子攒够5万元的学费。总结定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。参考文献1 误传生，经济数学微积分，高等教育出版社，20032 侯风波，经济数学基础，高等教育出版社，20043 华东师范大学数学系，高等教育出版社, 19904 王向东，上海科技文献出版社，19895 陈锡璞，机械工业出版社，1994.10
14、6 . . 菲赫金哥尔茨, 微积分学教程,高等教育出版社,20067 白银凤 罗蕴玲,微积分及其应用, 高等教育出版社The application of definite integral in the economicsAbstract:Definite integral is an essential of calculus,and it is also an importantmeans to solve many practical problems Definite integral is applied in economics widely, and is abundant i
15、n content .In this paper, the application of definite integral in such cases as aggregate productions function, investment strategy, consumers surplus and producers surplus, is illustrated with specific examples.Key Words: definiteintegra;the orginal function; margrnal functions;minimum and maximum; aggregate production funcion, invest ment; surplus.- -
